Question

6．如图，在等腰Rt△ABC中，∠ABC=90°，A（p，0），B（0，r），点C在第四象限，BC与x轴交于点D（q，0），x轴恰好平分∠BAC，则点C的坐标为（　　）

• A． （r，$\frac{p-q}{2}$）
• B． （-$\frac{p}{2}$，$\frac{p-q}{2}$）
• C． （r，p+q）
• D． （2q，$\frac{p-r}{2}$）

Answer 1

分析 如图，作CE⊥y轴于E，CM⊥x轴交AB的延长线于F．由△ABO≌△BCE，推出CE=OB=r，由△ABD≌△CBF，推出AD=CF=q-p，推出CM=$\frac{1}{2}$CF=$\frac{q-p}{2}$，由此即可解决问题．

解答 解：如图，作CE⊥y轴于E，CM⊥x轴交AB的延长线于F．

∵BA=BC，∠ABC=90°，
∴∠BAC=45°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAO=∠CAO=22.5°，
∵∠AMF=∠AMC=90°，
∴∠F=∠ACF=∠ABO=67.5°，∠CBE=∠BAO=22.5°，
∴AF=AC，
∴FM=MC，
在△ABO和△BCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AOB=∠BEC}\\{∠BAO=∠CBE}\\{AB=BC}\end{array}\right.$，
∴△ABO≌△BCE，
∴CE=OB=r，
在△ABD和△CBF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ABD=∠CBF}\\{∠ADB=∠F=67.5°}\\{AB=BC}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△CBF，
∴AD=CF=q-p，
∴CM=$\frac{1}{2}$CF=$\frac{q-p}{2}$，
∵点C在第四象限，
∴C（r，$\frac{P-q}{2}$），
故选A．

点评 本题考查等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、坐标与图形的性质、角平分线的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形，学会添加常用辅助线，属于中考常考题型．