Question

4．定义符号min{a，b}的含义为：当a≥b时，min{a，b}=b；当a＜b时，min{a，b}=a．如：min{2，-4}=-4，min{1，5}=1，则min{-x²+1，-x}的最大值是$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$．

Answer 1

分析 理解min{a，b}的含义就是取二者中的较小值，画出函数图象草图，利用函数图象的性质可得结论．

解答 解：在同一坐标系xOy中，画出函数二次函数y=-x²+1与正比例函数y=-x的图象，如图所示．设它们交于点A、B．
令-x²+1=-x，即x²-x-1=0，解得：x=$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$或$\frac{1-\sqrt{5}}{2}$，
∴A（$\frac{1-\sqrt{5}}{2}$，$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$），B（$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$，$\frac{-1-\sqrt{5}}{2}$）．
观察图象可知：
①当x≤$\frac{1-\sqrt{5}}{2}$时，min{-x²+1，-x}=-x²+1，函数值随x的增大而增大，其最大值为$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$；
②当$\frac{1-\sqrt{5}}{2}$＜x＜$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$时，min{-x²+1，-x}=-x，函数值随x的增大而减小，其最大值为$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$；
③当x≥$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$时，min{-x²+1，-x}=-x²+1，函数值随x的增大而减小，最大值为$\frac{-1-\sqrt{5}}{2}$．
综上所示，min{-x²+1，-x}的最大值是$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$．
故答案：$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$．

点评 本题考查了二次函数与正比例函数的图象与性质，充分理解定义min{a，b}和掌握函数的性质是解题的关键．