Question

14．如图1，已知等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边AB的中线，过D点作DE⊥DF分别交AC于E，交BC于F，∠FEC的角平分线EP交直线CD于P．
（1）①DE与DP的数量关系是DE=DP．
 ②设PC=x，EF=y，BC=2$\sqrt{2}$，求出y与x之间的函数关系式．
（2）如图2，当∠EDF绕D点逆时针旋转一个角度，使E、F分别在CA、BC的延长线上，请完成图形并判断（1）中的结论①、②是否分别成立？若不成立，写出相应的结论（所写结论均不必证明）．

Answer 1

分析 （1）①由ASA证明△CDE≌△BDF，得出DE=DF，即△DEF是等腰直角三角形，得出∠DEF=∠DFE=45°，结合三角形的外角性质证出∠DEP=∠DPE，即可得出结论；
②由等腰直角三角形的性质和勾股定理得出AB=$\sqrt{2}$BC=4，CD=$\frac{1}{2}$AB=2，DE=DP=CD-PC=2-x，EF=$\sqrt{2}$DE，即可得出结果；
（2）作出图形，同（1）即可得出结论．

解答 解：（1）①DE与DP的数量关系是：DE=DP，理由如下：
∵∠ACB=90°，△ABC为等腰直角三角形，
∴AC=BC，∠DBF=45°，
∵CD是斜边AB的中线，
∴CD⊥AB，∠DCE=45°，CD=BD=AD，
∴∠DCE=∠DBF=45°，∠BDC=90°，
∵DE⊥DF，
∴∠EDF=90°，
∴∠CDE=∠BDF，
在△CDE和△BDF中，$\left\{\begin{array}{l}{∠DCE=∠DBF}\\{CD=BD}\\{∠CDE=∠BDF}\end{array}\right.$，
∴△CDE≌△BDF（ASA），
∴DE=DF，即△DEF是等腰直角三角形，
∴∠DEF=∠DFE=45°，
∵PE平分∠CEF，
∴∠CEP=∠FEP，
∵∠DEP=∠DEF+∠FEP=45°+∠FEP，
∠DPE=∠DCE+∠CEP=45°+∠CEP，
∴∠DEP=∠DPE，
∴DE=DP；
②∵△ABC为等腰直角三角形，CD是斜边AB的中线，BC=2$\sqrt{2}$，
∴AB=$\sqrt{2}$BC=4，CD=$\frac{1}{2}$AB=2，
∵PC=x，
∴DE=DP=CD-PC=2-x，
∵△DEF是等腰直角三角形，
∴EF=$\sqrt{2}$DE，即y=$\sqrt{2}$（2-x），
∴y=-$\sqrt{2}$x+2$\sqrt{2}$；
（2）（1）中的结论①成立、②不成立，y=$\sqrt{2}$x+2$\sqrt{2}$；理由如下：
如图②所示：同（1）①得：△DEF是等腰直角三角形，
∠DEP=∠DEF-∠FEP=45°-∠FEP，∠DPE=∠DCE-∠CEP=45°-∠CEP，
∵PE平分∠CEF，
∴∠CEP=∠FEP，
∴∠DEP=∠DPE，
∴DE=DP；
∵PC=x，
∴DE=DP=CD+PC=2+x，
∵△DEF是等腰直角三角形，
∴EF=$\sqrt{2}$DE，即y=$\sqrt{2}$（2+x），
∴y=$\sqrt{2}$x+2$\sqrt{2}$．

点评 本题是三角形综合题目，考查了等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、三角形的外角性质等知识；熟练掌握等腰直角三角形的判定与性质，证明三角形全等是解决问题的关键．