Question

4．关于x的方程（a-1）x²-$\frac{4}{3}$ax-1=0有一正实根，则a的取值范围为（　　）

• A． a＞1或a=$\frac{3}{4}$
• B． a＞1
• C． a＞1或a=-3
• D． a＞1或a=$\frac{3}{4}$或a=-3

Answer 1

分析 关于x的方程有一个正实根，考虑一元二次方程和直线两种情况，分别讨论可得答案．

解答 解：当a-1=0，即a=1时，方程为：$-\frac{4}{3}x-1=0$，解得：x=$-\frac{3}{4}$，不合题意；
当a-1≠0时，
∵方程$（a-1）{x}^{2}-\frac{4}{3}ax-1=0$有一正实数根，
∴方程有一个正实数根，一负实数根或方程有两个相等的正实数根．
当方程有一正、一负实数根时，$\left\{\begin{array}{l}{（-\frac{4}{3}a）^{2}+4（a-1）＞0}\\{\frac{-1}{a-1}＜0}\end{array}\right.$，
解得：a＞1．
当方程有两个相等的正实数根时，$\left\{\begin{array}{l}{（-\frac{4}{3}a）^{2}+4（a-1）=0}\\{\frac{-1}{a-1}＞0}\end{array}\right.$，
解得；a=-3．
故选：C．

点评 本题主要考查的是一元二次方程、根与系数的关系、根的判别式，根据方程有一个正实数根得到方程有一个正实数根，一负实数根或方程有两个相等的正实数根是解题的关键．