Question

17．如图，△ABC的外接圆圆心落在边AC上，BD⊥AC于点E，且交△ABC的外接圆于点0，过D作DF⊥BC，交BC的延长线于点F．若BC=3，CF=1，则BE的长为多少？

Answer 1

分析 连接CD，根据圆周角定理得到∠A=∠BDC，由AC是⊙O的直径，得到∠ABC=90°，根据垂直的定义和余角的性质得到∠A=∠CBD，等量代换得到∠CBD=∠BDC，求得CD=BC=3，根据等腰三角形的性质得到BE=$\frac{1}{2}$BD，根据勾股定理即可得到结论．

解答 解：连接CD，
∴∠A=∠BDC，
∵AC是⊙O的直径，
∴∠ABC=90°，
∵BE⊥AC，
∴∠A=∠CBD，
∴∠CBD=∠BDC，
∴CD=BC=3，
∵BC=CD，CE⊥BD，
∴BE=$\frac{1}{2}$BD，
∵DF⊥BF，
∴DF=$\sqrt{C{D}^{2}-C{F}^{2}}$=2$\sqrt{2}$，
∴BD=$\sqrt{B{F}^{2}+D{F}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
∴BE=$\sqrt{5}$．

点评 本题考查了圆周角定理，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．