Question

3．如图，四边形ABCD是菱形，AB=2，∠ABC=30°，点E是射线DA上一动点，把△CDE沿CE折叠，其中点D的对应点为D′，连接D′B，若△D′BC为等边三角形，则DE=2$\sqrt{3}$-2或$\sqrt{3}$+1．

Answer 1

分析 先根据菱形的性质可得：∠D=∠ABC=30°，∠BCD=150°，然后根据△D′BC为等边三角形，可得∠BCD′=60°，然后根据折叠的性质可得：△DCE≌△D′CE，进而可得∠DCE=45°，然后过点E作EF⊥CD，垂足为F，然后解直角三角形DEF即可求出DE的值．

解答 解：①如图（1）所示，当点E在边AD上时，

∵四边形ABCD是菱形，AB=2，∠ABC=30°，
∴CD=AB=2，∠D=∠A=30°，∠BCD=150°，
∵△D′BC为等边三角形，
∴∠BCD′=60°，
∴∠DCD′=90°，
∵△CDE沿CE折叠，得到△CD′E，
∴△DCE≌△D′CE，
∴∠DCE=$\frac{1}{2}∠$DCD′=45°，
过点E作EF⊥CD，垂足为F，
则∠CFE=90°，
∴∠CEF=∠DCE=45°，
∴CF=EF，
在Rt△DEF中，∠D=30°，
∴EF=$\frac{1}{2}$DE，
设EF=x，则DE=2x，CF=x，
由勾股定理可得：FD=$\sqrt{3}$x，
∵CF+FD=CD=2，
即x+$\sqrt{3}x$=2，
解得：x=$\sqrt{3}-1$，
∴DE=2x=2$\sqrt{3}$-2．
②当点E在DA的延长线上时，如图（2），过点B作BF⊥AD，交DA的延长线于点F

由折叠可知∠ED′C=∠D=30°，又∠BD′C=60°，所以D′E为∠BD′C的平分线
又△BD′C是等边三角形，所以D′E⊥BC．
又AD∥BC，所以D′E⊥AD
因为∠ABC=30°，所以∠BAF=30°
又AB=2，所以AD=$\sqrt{3}$，
令D′E与BC的交点为G，则易知EF=BG=$\frac{1}{2}$BC=1
所以AE=$\sqrt{3}$-1，
所以此时DE=$\sqrt{3}$+1．
故答案为：2$\sqrt{3}$-2或$\sqrt{3}$+1．

点评 此题考查了菱形的性质，折叠问题，解直角三角形及等边三角形的性质等知识，解题的关键是：添加辅助线，构造两个特殊的直角三角形，然后解直角三角形即可．