Question

8．如图，边长为2的菱形纸片ABCD中，∠A=60°，将该纸片折叠，EF为折痕，点A、D分别落在A′、D′处．若A′D′经过点B，且D′F⊥CD，则DF的长为（　　）

• A． 2$\sqrt{3}$-2
• B． 4-2$\sqrt{3}$
• C． $\frac{3-\sqrt{3}}{2}$
• D． $\sqrt{3}$

Answer 1

分析 延长FC、A′D′相交于点G，根据菱形的对角相等求出∠BCD=∠A=60°，根据翻折的性质可得∠A′D′F=∠D，再求出∠FD′G=60°，根据直角三角形两锐角互余求出∠G=30°，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠CBG=30°，从而得到∠CBG=∠G，根据等角对等边求出BC=CG，然后利用∠G的正切值列式整理即可Q求出$\frac{FD}{FC}$的值，然后根据菱形的边长为2，即DF+FC=2，进而可求DF的值．

解答 解：如图，延长FC、A′D′相交于点G，
∵菱形ABCD中，∠A=60°，
∴∠BCD=∠A=60°，∠D=180°-60°=120°，
由翻折的性质得，∠A′D′F=∠D=120°，FD′=FD，
∴∠FD′G=180°-∠A′D′F=180°-120°=60°，
∵D′F⊥CD，
∴∠G=90°-∠FD′G=90°-60°=30°，
∴∠CBG=∠BCD-∠G=60°-30°=30°，
∴∠CBG=∠G，
∴BC=CG，
在Rt△FD′G中，tan∠G=$\frac{FD′}{FG}$，
∵FG=FC+CG=FC+BC=FC+CD=FC+FD+FC=2FC+FD，
∴tan30°=$\frac{FD}{2FC+FD}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，
即$\frac{FD}{FC}=\sqrt{3}+1$，
∴FD=（$\sqrt{3}+1$）FC，
∵FD+FC=2，
即（$\sqrt{3}$+1）FC+FC=2，
解得：FC=4-2$\sqrt{3}$，
∴FD=2-FC=2$\sqrt{3}$-2．
故选A．

点评 本题考查了翻折变换的性质，菱形的性质，等腰三角形的判定与性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，作辅助线构造出等腰三角形和直角三角形是解题的关键，也是本题的难点．