Question

已知sinA，sinB是方程4x²-2mx+m-1=0的两个实数根，且∠A，∠B是直角三角形的两个锐角，
（1）求m的值；
（2）求∠A和∠B的度数．

Answer 1

考点：根与系数的关系,同角三角函数的关系,特殊角的三角函数值

专题：

分析：（1）由根与系数的关系得sinA+sinB=

m

2

，sinA•sinB=

m-1

4

，利用互余两角三角函数的关系得到sin²A+sin²B=1，变形得到（sinA+sinB）²-2sinA•sinB=1，所以（

m

2

）²-2×

m-1

4

=1，解得m₁=1+

3

，m₂=1-

3

，然后根据sinA与sinB都是正数确定m的取值；
（2）利用因式分解法求出已知方程的解得到x的值确定出sinA或sinB的值，即可求出∠A和∠B的度数．

解答：解：（1）根据题意得sinA+sinB=

m

2

，sinA•sinB=

m-1

4

，
∵sin²A+sin²B=1，
∴（sinA+sinB）²-2sinA•sinB=1，
∴（

m

2

）²-2×

m-1

4

=1，
解得m₁=1+

3

，m₂=1-

3

，
∵sinA+sinB=

m

2

＞0，sinA•sinB=

m-1

4

＞0，
∴m=1+

3

；

（2）当m=1+

3

时，方程即为4x²-2（1+

3

）x+

3

=0，
∴（2x-1）（2x-

3

）=0，
解得：x₁=

1

2

，x₂=

3

2

，
当sinA=

1

2

时，∠A=30°，则∠B=60°；
当sinB=

1

2

时，∠B=30°，则∠A=60°．
故∠A=30°或60°，∠B=60°或30°．

点评：本题考查了根与系数的关系：x₁，x₂是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的两根时，则x₁+x₂=-

b

a

，x₁x₂=

c

a

．也考查了互余两角三角函数的关系，解一元二次方程-因式分解法．