题目内容
在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=1，点P是边AC上一动点，点Q在BC边的延长线上，且AP=BQ，连接BQ交线段AB于点O．
（1）如图1，小丁过点P作PH∥CB交线段AB于H，发现△OPH≌△OQB，请证明小丁发现的结论．
（2）如图2，过点O作OM、ON分别垂直于AC、BC于点M、N，若四边形OMCN的面积为
，求线段CP的长度．
（3）如图3，点P关于直线AB的对称点为P′，连接OP′，CP′，试说明∠COP′=90°．
（1）如图1，小丁过点P作PH∥CB交线段AB于H，发现△OPH≌△OQB，请证明小丁发现的结论．
（2）如图2，过点O作OM、ON分别垂直于AC、BC于点M、N，若四边形OMCN的面积为
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（3）如图3，点P关于直线AB的对称点为P′，连接OP′，CP′，试说明∠COP′=90°．
考点：全等三角形的判定与性质,等腰直角三角形
专题：
分析：（1）易证∠OPH=∠Q，即可证明△OPH≌△OQB；
（2）易证ON=AN，OM=CN，即可求得CN、AN的值，易证OB=OH，根据平行线性质可得CN=PN，即可解题；
（3）过C作CG⊥AB，作PH∥BC，易证OP=OQ，OH=OB，HK=AK，即可求得OK=CG，即可证明RT△OP'K≌RT△COG，可得∠P'OK=∠OCG，即可求得∠P'OK+∠COG=90°，即可解题．
（2）易证ON=AN，OM=CN，即可求得CN、AN的值，易证OB=OH，根据平行线性质可得CN=PN，即可解题；
（3）过C作CG⊥AB，作PH∥BC，易证OP=OQ，OH=OB，HK=AK，即可求得OK=CG，即可证明RT△OP'K≌RT△COG，可得∠P'OK=∠OCG，即可求得∠P'OK+∠COG=90°，即可解题．
解答：（1）证明：∵PH∥BC，
∴∠OPH=∠Q，
∵在△OPH和△OQB中，
，
∴△OPH≌△OQB（AAS）；
（2）解：∵ON⊥AC，∠A=45°，
∴ON=AN，
∵ON⊥AC，OM⊥BC，∠C=90°，
∴四边形OMCN为矩形，
∴OM=CN，
∵CN•NO=
，CN+NO=1，
∴CN=
，AN=
，
∵△OPH≌△OQB，∴OB=OH，
∵PH∥BC，
∴
=
=1，
∴CP=
；
（3）解：过C作CG⊥AB，作PH∥BC，
∵点P关于直线AB的对称点为P′，
∴OP=OP'，
∵△OPH≌△OQB，
∴OP=OQ，OH=OB，
∵PH∥BC，
∴△APH为等腰直角三角形，
∵PP'⊥AH，
∴HK=AK，
∴OK=
AB，
∵CG⊥AB，∴CG=AO=BO=
AB，
∴OK=CG，
在RT△OP'K和RT△COG中，
，
∴RT△OP'K≌RT△COG（HL），
∴∠P'OK=∠OCG，
∵∠OCG+∠COG=90°，
∴∠P'OK+∠COG=90°，即∠P'OC=90°．
∴∠OPH=∠Q，
∵在△OPH和△OQB中，
|
∴△OPH≌△OQB（AAS）；
（2）解：∵ON⊥AC，∠A=45°，
∴ON=AN，
∵ON⊥AC，OM⊥BC，∠C=90°，
∴四边形OMCN为矩形，
∴OM=CN，
∵CN•NO=
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| 9 |
∴CN=
| 1 |
| 3 |
| 2 |
| 3 |
∵△OPH≌△OQB，∴OB=OH，
∵PH∥BC，
∴
| HO |
| BO |
| PN |
| CN |
∴CP=
| 2 |
| 3 |
（3）解：过C作CG⊥AB，作PH∥BC，
∵点P关于直线AB的对称点为P′，
∴OP=OP'，
∵△OPH≌△OQB，
∴OP=OQ，OH=OB，
∵PH∥BC，
∴△APH为等腰直角三角形，
∵PP'⊥AH，
∴HK=AK，
∴OK=
| 1 |
| 2 |
∵CG⊥AB，∴CG=AO=BO=
| 1 |
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∴OK=CG，
在RT△OP'K和RT△COG中，
|
∴RT△OP'K≌RT△COG（HL），
∴∠P'OK=∠OCG，
∵∠OCG+∠COG=90°，
∴∠P'OK+∠COG=90°，即∠P'OC=90°．
点评：本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边、对应角相等的性质，本题中求证△OPH≌△OQB和RT△OP'K≌RT△COG是解题的关键．
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的绝对值是（ ）
| 1 |
| 2 |
A、
| ||
B、-
| ||
| C、2 | ||
| D、-2 |