Question

已知：如图所示Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC，D是AB中点，E、F分别是AC、BC边上的两动点，无论E、F如何运动，始终保持AE=CF．求证：△DEF是等腰直角三角形．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,等腰直角三角形

专题：证明题

分析：连接CD，易证∠A=∠DCF=45°，AD=CD=BD，即可证明△ADE≌△CDF，可得DF=DE，∠CDF=∠ADE，即可求得∠EDF=90°，即可解题．

解答：证明：连接CD，

∵D是AB中点，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC，
∴AD=CD=BD，
∠A=∠DCF=45°，∠ADC=90°，
在△ADE和△CDF中，

AD=CD ∠A=∠DCF=45° AE=CF

，
∴△ADE≌△CDF，（SAS）
∴DF=DE，∠CDF=∠ADE，
∵∠ADE+∠CDE=∠ADC=90°，
∴∠CDF+∠CDE=90°，即∠EDF=90°，
∴△DEF是等腰直角三角形．

点评：本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边、对应角相等的性质，本题中求证△ADE≌△CDF是解题的关键．