Question

如图，BE是⊙O的直径，点A在EB的延长线上，弦PD⊥BE，垂足为C，连接OD，∠AOD=∠APC．
（1）求证：AP是⊙O的切线．
（2）若⊙O的半径是4，AP=4

3

，求图中阴影部分的面积．

Answer 1

考点：切线的判定,扇形面积的计算

专题：计算题

分析：（1）连接OP，如图，利用等腰三角形的性质由OD=OP得到∠OPD=∠ODP，而∠APC=∠AOD，则∠OPD+∠APC=∠ODP+∠AOD，由于∠ODP+∠AOD=90°，易得∠APO=90°，于是根据切线的判定定理即可得到AP是⊙O的切线；
（2）在Rt△APO中，利用勾股定理计算出，AO=8，即PO=

1

2

AO，则∠A=30°，可计算出∠POA=60°，∠OPC=30°，再利用垂径定理PC=CD，且∠POD=120°，OC=

1

2

PO=2，接着在Rt△OPC中计算出PC=2

3

，得到PD=2PC=4

3

，然后根据扇形面积公式和S_阴影=S_扇形OPBD-S_△OPD进行计算即可．

解答：（1）证明：连接OP，如图，
∵OD=OP，
∴∠OPD=∠ODP，
∵∠APC=∠AOD，
∴∠OPD+∠APC=∠ODP+∠AOD，
又∵PD⊥BE，
∴∠ODP+∠AOD=90°，
∴∠OPD+∠APC=90°，
即∠APO=90°，
∴OP⊥AP，
∴AP是⊙O的切线；
（2）解：在Rt△APO中，
∵AP=4

3

，PO=4，
∴AO=

AP2+PO2

=8，即PO=

1

2

AO，
∴∠A=30°，
∴∠POA=60°，
∴∠OPC=30°
又∵PD⊥BE，
∴PC=CD，
∴∠POD=120°，OC=

1

2

PO=2，
在Rt△OPC中，∵OC=2，OP=4，
∴PC=

OP2-OC2

=2

3

，
∴PD=2PC=4

3

，
∴S_阴影=S_扇形OPBD-S_△OPD
=

120

360

•π•42-

1

2

×4

3

×2
=

16

3

π-4

3

．

点评：本题考查了切线的判定：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．在判定一条直线为圆的切线时，当已知条件中未明确指出直线和圆是否有公共点时，常过圆心作该直线的垂线段，证明该线段的长等于半径；当已知条件中明确指出直线与圆有公共点时，常连接过该公共点的半径，证明该半径垂直于这条直线．也考查了垂径定理和扇形的面积公式．