Question

17．如图，已知正方形纸片ABCD的边是⊙O半径的4倍，点O是正方形ABCD的中心，将纸片保持图示方式折叠，使EA₁恰好与⊙0相切于点A₁，则tan∠A₁EF的值为$\frac{2}{3}$．

Answer 1

分析 在RT△FMO中利用勾股定理得出AF与r的关系，设r=6a，则x=7a，AM=MO=12a，FM=5a，AF=FA₁=7a，利用A₁N∥OM得到$\frac{{A}_{1}N}{OM}=\frac{F{A}_{1}}{FO}=\frac{FN}{FM}$求出AN，NA₁，再证明∠1=∠2即可解决问题．

解答 解：如图，连接AA₁，EO，作OM⊥AB，A₁N⊥AB，垂足分别为M、N．
设⊙O的半径为r，则AM=MO=2r，设AF=FA₁=x，
在RT△FMO中，∵FO²=FM²+MO²，
∴（r+x）²=（2r-x）²+（2r）²，
∴7r=6x，
设r=6a则x=7a，AM=MO=12a，FM=5a，AF=FA₁=7a，
∵A₁N∥OM，
∴$\frac{{A}_{1}N}{OM}=\frac{F{A}_{1}}{FO}=\frac{FN}{FM}$，
∴$\frac{{A}_{1}N}{12a}=\frac{7a}{13a}=\frac{FN}{5a}$，
∴A₁N=$\frac{84}{13}$a，FN=$\frac{35}{13}$a，AN=$\frac{126}{13}$a，
∵∠1+∠4=90°，∠4+∠3=90°，∠2=∠3，
∴∠1=∠3=∠2，
∴tan∠2=tan∠1=$\frac{{A}_{1}N}{AN}$=$\frac{2}{3}$．
故答案为$\frac{2}{3}$．

点评 本题考查正方形的性质、圆的有关知识、勾股定理，平行线分线段成比例定理等知识，用设未知数列方程的数学思想是解决问题的关键．