如图1.已知抛物线y=ax2+bx+c.交x轴于A.B两点.交y轴于点D.点B的坐标为(3.0)．(1)求点A的坐标和抛物线的解析式,(2)如图2.设G为已知抛物线的对称轴上的任意一点.当△BGD的面积等于△ADB的面积时.求点G的坐标,(3)如图3.在抛物线上是否存在一点T.过点T作x轴的垂线.垂足为点M.过点M作MN∥BD.交线段AD于点N.连接MD.使△DNM∽△BMD?若� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

2．如图1，已知抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）的顶点为C（l，4），交x轴于A、B两点，交y轴于点D，点B的坐标为（3，0）．
（1）求点A的坐标和抛物线的解析式；
（2）如图2，设G为已知抛物线的对称轴上的任意一点，当△BGD的面积等于△ADB的面积时，求点G的坐标；
（3）如图3，在抛物线上是否存在一点T，过点T作x轴的垂线，垂足为点M，过点M作MN∥BD，交线段AD于点N，连接MD，使△DNM∽△BMD？若存在，求出点T的坐标；若不存在，请说明理由．

分析（1）根据顶点设为顶点式，求解析式即可；
（2）根据面积相等，先求出高，再作出满足条件的平行线，联立对称轴求交点即可；
（3）作出图形，设点，根据相似建立等量关系求解即可．

解答解：如图1

（1）设所求抛物线的解析式为：y=a（x-1）²+4，
依题意，将点B（3，0）代入，得：a（3-1）²+4=0，
解得：a=-1，
∴所求抛物线的解析式为：y=-（x-1）²+4=-x²+2x+3
∴当y=0时，-（x-1）²+4=0，
∴x=-1或x=3，
∴点A（-1，0），
（2）设G为已知抛物线的对称轴上的任意一点，当△BGD的面积等于△ADB的面积时，求点G的坐标；
如图2

由y=-（x-1）²+4 知对称轴为x=1，
在y=-（x-1）²+4，
中，当x=0，得y=3∴点D的坐标为（0，3），
设直线BD的解析式为y=kx+b，
将B（3，0），D（0，3）坐标代入，得：$\left\{\begin{array}{l}{0=3k+b}\\{3=b}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=3}\end{array}\right.$，
∴直线BD的解析式为y=-x+3，
在Rt△BOD中，DB=$\sqrt{{3^2}+{3^2}}=3\sqrt{2}$，
又∵${S_{△ADB}}=\frac{1}{2}AB•OD=\frac{1}{2}×4×3$=6，
设△ABD中BD边上的高为h，
则有$\frac{1}{2}BD•h=6$，即$\frac{1}{2}×3\sqrt{2}h=6$，
∴$h=2\sqrt{2}$，
在坐标平面内作直线平行于BD，且到BD的距离等于$h=2\sqrt{2}$，
这样的直线有两条，分别为L₁、L₂，则直线与对称轴x=1，
的两个交点G₁、G₂就是所求的点，
设L₁与y轴交于点E，BD与直线x=1交于点F，由已知条件可知四边形DEG₁F为平行四边形，
∴DE=FG₁，
∵Rt△DOB∽Rt△EOA，OD=OB，
∴∠ODB=45°，∴∠OEA=45°
∴OE=OA=1∴DE=4，
∴将直线BD向下平移4个单位即为L₁：y=-x-1，
同理，将直线BD向上平移4个单位即为L₂：y=-x+7，
∴联立$\left\{\begin{array}{l}{y=-x-1}\\{x=1}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=-2}\end{array}\right.$，
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=-x-7}\\{x=1}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=6}\end{array}\right.$，
即G₁（1，-2）G₂（1，6），
（3）如图3，

由题意可知，∠NMD=∠MDB，要使，△DNM∽△BMD，只要使$\frac{NM}{MD}=\frac{MD}{BD}$即可，
即：MD²=NM×BD，
设点M的坐标为（a，0），由MN∥BD，
可得△AMN∽△ABD，
∴$\frac{NM}{BD}=\frac{AM}{AB}$，
再由（1）、（2）可知，AM=1+a，BD=$3\sqrt{2}$，AB=4，
∴$MN=\frac{AM×BD}{AB}=\frac{{（1+a）×3\sqrt{2}}}{4}=\frac{{3\sqrt{2}}}{4}（1+a）$，
∵MD²=OD²+OM²=a²+9，
∴${a^2}+9=\frac{{3\sqrt{2}}}{4}（1+a）×3\sqrt{2}$，
解得：$a=\frac{3}{2}$或a=3（不合题意，舍去），
∴点M的坐标为（$\frac{3}{2}$，0），
又∵点T在抛物线y=-（x-1）²+4图象上，
∴当x=$\frac{3}{2}$时，y=$\frac{15}{4}$，
∴点T的坐标为（$\frac{3}{2}$，$\frac{15}{4}$）．

点评此题主要考查二次函数的综合问题，会用顶点式求抛物线，会根据面积相等建立平行线解题，会分析相似建立关系求值是解题的关键．

练习册系列答案

相关题目

	A．	一组邻边相等的矩形是正方形
	B．	对角线互相垂直的平行四边形是菱形
	C．	等腰梯形的对角和相等
	D．	矩形的对角线互相垂直平分

13．下列各图，不是正方体展开图的是（　　）

A．