题目内容
5．
如图所示，函数y1=x（x＞0），y2=$\frac{4}{x}$（x＞0）的图象交于点A，与直线x=3分别交于B，C两点，给出以下四个结论：①当x＞2时，y2＜y1；
②$\frac{OA}{OB}$=$\frac{2}{3}$；
③BC=$\frac{5}{3}$；
④在y2=$\frac{4}{x}$（x＞0）的图象上取一点P，使S△PBC=2S△ABC，则P点坐标为（1，4）．
其中正确的结论有①②③（把所有正确结论的序号都填在横线上）
分析 根据题意得出A点坐标，进而得出当x＞2时，y2＜y1，再利用相似三角形的判定与性质得出$\frac{OA}{OB}$=$\frac{2}{3}$，求出BD，DC的长即可得出BC的长，结合P点到x=3的距离得出P点横坐标进而得出答案．
解答 
解：由题意可得：当x=$\frac{4}{x}$，
解得：x1=2，x2=-2，
则y1=2，
故A（2，2），
当x＞2时，y2＜y1，故①正确；
过点A作AE⊥x轴，
则△OAE∽△OBD，
∴$\frac{OA}{OB}$=$\frac{2}{3}$，
故②正确，
当x=3时，BD=3，CD=$\frac{3}{4}$，
∴BD-CD=BC=$\frac{5}{3}$，故③正确；
在y2=$\frac{4}{x}$（x＞0）的图象上取一点P，
使S△PBC=2S△ABC，则点P到直线x=3的距离是AF的2倍，即为2，
则P点的横坐标为1或5，
所以，P点坐标为：（1，4）或（5，$\frac{4}{5}$），
y2=ax2+bx（a≠0），
如图所示，故④错误．
故答案为：①②③．
点评 此题主要考查了反比例函数综合以及相似三角形的判定与性质、三角形面积求法等知识，利用数形结合得出P点坐标是解题关键．
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