Question

10．如图，O为矩形ABCD内的一点，满足OD=OC，若O点到边AB的距离为d，到边DC的距离为3d，且OB=2d，求该矩形对角线的长2$\sqrt{7}$d．

Answer 1

分析 由等腰三角形的性质求出∠OBC=∠OCB，由矩形的性质求出AD=BC，∠ABC=∠DCB=90°，求出∠ABO=∠DCO，根据SAS推出△ABO≌△DCO，得出OA=OB，过O作MN⊥AB与N交CD于M，则AN=BN，NM⊥CD，OM=3d，ON=d，由勾股定理求出BN，得出AB，再由勾股定理求出AC即可．

解答 证明：∵OD=OC，
∴O在CD的垂直平分线线上，∠ODC=∠OCD，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC，∠ABC=∠ADC=∠BCD=90°，
∴∠ADC-∠ODC=∠BCD-∠OCD，
即∠ADO=∠BCO，
在△ADO和△BCO中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=BC}&{\;}\\{∠ADO=∠BCO}&{\;}\\{OD=OC}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ADO≌△BCO（SAS），
∴OA=OB，
∴O在AB的垂直平分线上，
过O作MN⊥AB与N交CD于M，如图所示：
则AN=BN，NM⊥CD，OM=3d，ON=d，
∴BC=MN=3d+d=4d，BN=$\sqrt{O{B}^{2}-O{N}^{2}}$=$\sqrt{（2d）^{2}-{d}^{2}}$=$\sqrt{3}$d，
∴AB=AN+BN=2$\sqrt{3}$d，
∴AC=$\sqrt{A{B}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{（2\sqrt{3}d）^{2}+（4d）^{2}}$=2$\sqrt{7}$d；
故答案为：2$\sqrt{7}$d．

点评 本题考查了矩形的性质，全等三角形的性质和判定的应用，勾股定理；解此题的关键是推出△ABO≌△DCO，由勾股定理求出BN得出AB．