Question

17．如图，已知△ABC中，AB＞AC，BC=6，BC边上的高AN=4．直角梯形DEFG的底EF在BC边上，EF=4，点D、G分别在边AB、AC上，且DG∥EF，GF⊥EF，垂足为F．设GF的长为x，直角梯形DEFG的面积为y，求y关于x的函数关系式，并写出函数的定义域．

Answer 1

分析 由平行线分线段成比例定理得出$\frac{DG}{BC}$=$\frac{AG}{AC}$，证出四边形GFMN为矩形，得出GF=MN=x，由平行线分线段成比例定理得出$\frac{AG}{AC}$=$\frac{AM}{AN}$，得出$\frac{DG}{6}$=$\frac{4-x}{4}$，因此DG=6-$\frac{3}{2}$x，即可得出结果．

解答 解：∵DG∥EF，
∴DG∥BC，
∴$\frac{DG}{BC}$=$\frac{AG}{AC}$，
∵GF⊥EF，AN⊥BC，四边形DEFG为直角梯形，
∴四边形GFMN为矩形，
∴GF=MN=x，
∵DG∥BC，
∴$\frac{AG}{AC}$=$\frac{AM}{AN}$=$\frac{AN-GF}{AN}$=$\frac{4-x}{4}$，
∴$\frac{DG}{BC}$=$\frac{4-x}{4}$，
即：$\frac{DG}{6}$=$\frac{4-x}{4}$，
解得：DG=6-$\frac{3}{2}$x，
∴y=$\frac{（DG+EF）}{2}$•MN=$\frac{（6-\frac{3}{2}x+4）}{2}$•x=-$\frac{3}{4}$x²+5x，
即y关于x的函数关系式为：y═-$\frac{3}{4}$x²+5x（0＜x＜4）．

点评 本题考查了平行线分线段成比例定理、直角梯形面积的计算、矩形的判定与性质；本题难度适中，由平行线分线段成比例定理得出比例式是解决问题的关键．