Question

2．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，直角∠MON的顶点O在AB边上，OM、ON分别交边AC、BC于点P、Q，∠MON绕点O任意旋转．当$\frac{OA}{OB}=\frac{1}{2}$时，$\frac{OP}{OQ}$的值为 ______；当$\frac{OA}{OB}=\frac{1}{n}$时，$\frac{OP}{OQ}$的值为 ______（用含n的式子表示）．其中正确的选项是（　　）

• A． $\frac{\sqrt{3}}{2}；\frac{\sqrt{3}}{n}$
• B． $\frac{\sqrt{3}}{n}；\frac{\sqrt{3}}{n}$
• C． $\frac{\sqrt{3}}{2}；\sqrt{3}$
• D． $\sqrt{3}$；$\frac{\sqrt{3}}{n}$

Answer 1

分析 作OD⊥AC于D，OE⊥BC于E，由OD∥BC，OE∥AC易得△AOD∽△ABC，△BOE∽△BAC，根据相似的性质得$\frac{OD}{BC}$=$\frac{AO}{AB}$，$\frac{OE}{AC}$=$\frac{OB}{BA}$，由于$\frac{OA}{OB}$=$\frac{1}{n}$，则$\frac{OA}{AB}$=$\frac{1}{n+1}$，$\frac{OB}{AB}$=$\frac{n}{n+1}$，所以$\frac{OD}{OE}$=$\frac{BC}{n•AC}$，在Rt△ABC中，利用正切的定义得tanB=tan30°=$\frac{AC}{BC}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，即$\frac{BC}{AC}$$\sqrt{3}$，则$\frac{OD}{OE}$=$\frac{\sqrt{3}}{n}$，利用等角的余角相等得到∠DOP=∠QOE，则Rt△DOP∽Rt△EOQ，$\frac{OP}{OQ}$=$\frac{OD}{OE}$=$\frac{\sqrt{3}}{n}$，且当n=2时$\frac{OA}{OB}$=$\frac{1}{2}$时，$\frac{OP}{OQ}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

解答 解：作OD⊥AC于D，OE⊥BC于E，如图，
∵∠ACB=90°，
∴OD∥BC，OE∥AC，
∴△AOD∽△ABC，△BOE∽△BAC，
∴$\frac{OD}{BC}$=$\frac{AO}{AB}$，$\frac{OE}{AC}$=$\frac{OB}{BA}$，
∵$\frac{OA}{OB}$=$\frac{1}{n}$，
∴$\frac{OA}{AB}$=$\frac{1}{n+1}$，$\frac{OB}{AB}$$\frac{n}{n+1}$，
∴$\frac{OD}{BC}$=$\frac{1}{n+1}$，$\frac{OE}{AC}$=$\frac{n}{n+1}$，
∴$\frac{OD}{OE}$=$\frac{BC}{n•AC}$，
在Rt△ABC中，利用正切的定义得tanB=tan30°=$\frac{AC}{BC}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，$\frac{BC}{AC}$$\sqrt{3}$，
∴$\frac{OD}{OE}$=$\frac{\sqrt{3}}{n}$，
∵∠POQ=90°，
而∠DOE=90°，
∴∠DOP=∠QOE，
∴Rt△DOP∽Rt△EOQ，
∴$\frac{OP}{OQ}$=$\frac{OD}{OE}$=$\frac{\sqrt{3}}{n}$，
即$\frac{OA}{OB}$=$\frac{1}{2}$时，$\frac{OP}{OQ}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
故选A．

点评 本题考查了相似三角形的判定与性质：平行于三角形一边的直线与其他两边所截的三角形与原三角形相似；有两组角对应相等的两个三角形相似；相似三角形对应边的比相等，都等于相似比．