Question

7．如本题图①，在△ABC中，已知∠ABC=∠ACB=α．过点A作BC的平行线与∠ABC的平分线交于点D，连接CD．
（1）求∠ACD的大小；
（2）在线段CD的延长线上取一点F，以FD为角的一边作∠DFE=α，另一边交BD延长线于点E，若FD-kAD（如本题图②所示），试求$\frac{{S}_{△DEF}}{{S}_{△BCD}}$的值（用含k的代数式表示）．

Answer 1

分析 （1）由∠ABC=∠ACB，BD平分∠ABC，得到∠1=∠2=$\frac{α}{2}$，AB=AC，因为AD∥BC，推出∠2=∠3，得到∠3=∠1=$\frac{α}{2}$，得到AB=AD．AC=AD=AB．于是得到∠ACD=∠ADC=$\frac{180°-∠CAD}{2}$，根据AD∥BC，∠CAD=ACB=α，得出结论∠ACD=∠ADC=$\frac{180°-α}{2}$=90°-$\frac{α}{2}$．
（2）过A作AH⊥BC于点H，得到∠AHB=90°．证出∠BAH=90°-α，因为AD∥BC，得出∠BDC+∠ADC=180°，然后证得对应角相等，得到相似三角形，根据相似三角形的性质得比例式求得结果．

解答 解：（1）∵∠ABC=∠ACB，BD平分∠ABC，
∴∠1=∠2=$\frac{α}{2}$，AB=AC，
∵AD∥BC，
∴∠2=∠3，
∴∠3=∠1=$\frac{α}{2}$，
∴AB=AD．
∴AC=AD=AB．
∴∠ACD=∠ADC=$\frac{180°-∠CAD}{2}$，
又∵AD∥BC，
∴∠CAD=ACB=α，
∴∠ACD=∠ADC=$\frac{180°-α}{2}$=90°-$\frac{α}{2}$．

（2）证明：过A作AH⊥BC于点H，
则∠AHB=90°．
∴∠BAH=90°-α，
∵AD∥BC，∴∠BCD+∠ADC=180°，
即：∠BCA+∠ACD+∠CDB+∠3=180°，
由∠ACB=α，∠ACD=90°-$\frac{α}{2}$，∠3=$\frac{α}{2}$，
得：∠CDB=180°-α-（90°-$\frac{α}{2}$）-$\frac{α}{2}$=90°-α．
∴∠FDE=∠CDB=90°-α，
∴∠BAH=∠FDE，∵∠ABH=∠DFE=α，
∴△ABH∽△DEF，
∵FD=kAD，AB=AD，
∴S_△DEF=k²S_△BAH，
∵AD∥BC，
∴S_△BCD=S_△ABC=2S_△BAH，
∴$\frac{{S}_{△DEF}}{{S}_{△BCD}}$=$\frac{1}{2}$k²，

点评 本题考查了角平分线的性质，平行线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，作辅助线构造相似三角形是解题的关键．