Question

如图，把一张矩形的纸ABCD沿对角线BD折叠，使点C落在点E处，BE与AD交于点F．
①求证：△ABF≌△EDF；
②若将折叠的图形恢复原状，点F与BC边上的点M正好重合，连接DM，试判断四边形BMDF的形状，并说明理由．
③若AD=9cm，AB=3cm，求四边形BMDF的面积．

Answer 1

考点：翻折变换（折叠问题）,全等三角形的判定与性质,菱形的判定与性质

专题：

分析：（1）因为△BCD关于BD折叠得到△BED，显然△BCD≌△BED，得出CD=DE=AB，∠E=∠C=∠A=90°．再加上一对对顶角相等，可证出△ABF≌△EDF；
（2）利用折叠知识及菱形的判定可得出四边形BMDF是菱形；
（3）根据勾股定理可得AF的长，进一步得到FD的长，再根据平行四边形的面积公式计算即可求解．

解答：（1）证明：由折叠可知，CD=ED，∠E=∠C． 
在矩形ABCD中，AB=CD，∠A=∠C．
∴AB=ED，∠A=∠E．
在△AFB与△EFD中，

∠AFB=∠EFD ∠A=∠E AB=ED

，
∴△AFB≌△EFD（AAS）．

（2）解：四边形BMDF是菱形．
理由：由折叠可知：BF=BM，DF=DM．
由（1）知△AFB≌△EFD，
∴BF=DF．
∴BM=BF=DF=DM．
∴四边形BMDF是菱形．

（3）解：设AF=xcm，则BF=（9-x）cm，则
3²+x²=（9-x）²，
解得x=4，
DF=9-4=5cm，
故四边形BMDF的面积为5×3=15cm²．

点评：本题利用了折叠的知识（折叠后的两个图形全等）以及矩形的性质（矩形的对边相等，对角相等），以及菱形的判定、勾股定理、全等三角形的判定和性质的有关知识．