Question

反比例函数y=

k

x

上有A（1，n）和B（-n，

n

2

）两点，动点P（x，0）在x轴上运动，已知m=|PA-PB|．
（1）求双曲线y=

k

x

的解析式；
（2）当m最小时，求P点的坐标；
（3）当m最大时，求P点的坐标．

Answer 1

考点：反比例函数图象上点的坐标特征,待定系数法求反比例函数解析式

专题：计算题

分析：（1）根据反比例函数图象上点的坐标特征得k=1•n=-n•

n

2

，解得n₁=0，n=-2，由于-n≠0，则n=-2，所以k=-2，得到反比例函数解析式为y=-

2

x

；
（2）当PA=PB时，m最小，根据两点的距离公式得到（x-1）²+2²=（x-2）²+1²，解得x=0，所以P点坐标为（0，0）；
（3）由于|PA-PB|≤AB，所以当P点为直线AB与x轴的交点时，m最大，再利用待定系数法确定直线AB的解析式为y=x-3，然后求直线y=x-3与x轴的交点坐标即可．

解答：解：（1）根据题意得1•n=-n•

n

2

，解得n₁=0，n=-2，
∵-n≠0，
∴n=-2，
∴k=1×（-2）=-2，
∴反比例函数解析式为y=-

2

x

；
（2）当PA=PB时，m=|PA-PB|=0，
∴（x-1）²+2²=（x-2）²+1²，解得x=0，
∴P点坐标为（0，0）；
（3）∵|PA-PB|≤AB，
∴当P点为直线AB与x轴的交点时，m最大，
设直线AB的解析式为y=kx+b，
把A（1，-2）、B（2，-1）代入得

k+b=-2 2k+b=-1

，解得

k=1 b=-3

，
∴直线AB的解析式为y=x-3，
把y=0代入y=x-3得x-3=0，解得x=3，
∴P点坐标为（3，0）．

点评：本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数y=

k

x

（k为常数，k≠0）的图象是双曲线，图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy=k．