Question

4．[探究]如图1，将△ABC沿着DE折叠后，使点A落在∠BAC的内部点A′处．试判断∠1、∠2与A的数量关系．并证明．
[应用]如图2，将△ABC沿着DE折叠后，使点A落在∠BAC的内部．
（1）若∠B=95°，∠C=25°，则∠1+∠2=120°；
（2）若∠1+∠2=80°，则∠B+∠C=130°；
（3）若AE∥BD，∠B+∠C=130°，则∠2=50°．
[变式]如图3，将△ABC沿着DE折叠后，使点A落在∠BAC的外部点A′处，试判断∠1、∠2与∠A的数量关系，并证明．

Answer 1

分析 [探究]运用折叠原理及四边形的内角和定理即可解决问题；
[应用]（1）运用折叠原理及四边形的内角和定理即可解决问题；
（2）根据[探究]的结论代入数据即可得到结果；
（3）根据平行线的性质得到∠1=∠A′，由三角形的内角和得到∠A的度数，然后根据[探究]的结论即可求得结果；
[变式]运用三角形的外角性质即可解决问题．

解答 解：[探究]如图1，∠A=∠1+∠2．
理由如下：∵∠1+∠A′EA+∠2+∠A′DA=360°，
∠A+∠A′+∠A′EA+∠A′DA=360°，
∴∠A′+∠A=∠1+∠2，
由折叠知识可得∠A=∠A′，
∴2∠A=∠1+∠2；

[应用]（1）如图1，延长BD，CE交于A，
∵∠B=95°，∠C=25°，
∴∠A=180°-∠B-∠C=60°
由[探究]得，2∠A=∠1+∠2，
∴∠1+∠2=2∠A=120°；
故答案为：120°；
（2）∵∠1+∠2=80°，∴∠A=$\frac{1}{2}$（∠1+∠2）=40°，
∴∠B+∠C=180°-∠A=140°；
故答案为：140°；
（3）∵A′E∥BD，
∴∠1=∠A′=∠A，∵∠B+∠C=130°，
∴∠A=50°，∠1=50°，
∵∠1+∠2=2∠A=100°，
∴∠2=50°，
故答案为：50°

2∠A=∠1-∠2．
证明：∵∠1=∠EFA+∠A，∠EFA=∠A′+∠2，
∴∠1=∠A+∠A′+∠2=2∠A++∠2，
∴2∠A=∠1-∠2．

点评 本体考查了三角形的内角和定理，平行线的性质，外角性质；解题的关键是结合图形灵活运用有关定理来解题．