Question

9．如图，△ABC的角平分线交于点O．
（1）若∠B=60°，则∠AOC=120°，若∠B=80°，则∠AOC=130°；
（2）若∠B=α，求∠AOC的度数．

Answer 1

分析 （1）先根据三角形的内角和定理求出∠BAC+∠BCA的度数，再根据角平分线的定义求出$\frac{1}{2}$（∠BAC+∠BCA），然后再利用三角形的内角和定理求解即可；
（2）方法同（1）．

解答 解：（1）∵OA，OC分别是∠BAC，∠BCA的平分线，
∴∠OAC=$\frac{1}{2}$∠BAC，∠OCA=$\frac{1}{2}$∠BCA，
∴∠AOC=180°-∠OAC-∠OCA=180°-$\frac{1}{2}$∠BAC-$\frac{1}{2}$∠BCA，
=180°-$\frac{1}{2}$（∠BAC+∠BCA）．
又∵∠B=60°，
∴∠BAC+∠BCA=180°-60°=120°．
∴$\frac{1}{2}$（∠BAC+∠BCA）=120°×$\frac{1}{2}$=60°．
∴∠AOC=180°-60°=120°，
当∠B=80°时，同理可得∠AOC=130°，
故答案为：120°，130°；

（1））∵OA，OC分别是∠BAC，∠BCA的平分线，
∴∠OAC=$\frac{1}{2}$∠BAC，∠OCA=$\frac{1}{2}$∠BCA，
∴∠AOC=180°-∠OAC-∠OCA=180°-$\frac{1}{2}$∠BAC-$\frac{1}{2}$∠BCA，
=180°-$\frac{1}{2}$（∠BAC+∠BCA）．
∵∠B=α，
∴∠BAC+∠BCA=180°-α，
∴$\frac{1}{2}$（∠BAC+∠BCA）=$\frac{1}{2}$（180°-α）=90°-$\frac{1}{2}α$，
∴∠AOC=180°-（90°-$\frac{1}{2}$α）=90°+$\frac{1}{2}α$．

点评 本题考查的是三角形的内角和定理，角平分线的定义，整体思想的利用是解题的关键．