Question

8．已知：如图，D是EF的中点，BE=CF，求证：△ABC是等腰三角形．

Answer 1

分析 过点E作EG∥AC，与BC交于一点G，证明△EGD≌△FCD，则EG=CF，易证EB=EG，则∠ABC=∠EGB，又EG∥AC，得到∠EGB=∠ACB，所以∠ABC=∠ACB，得到AB=AC即可得证．

解答 证明：过点E作EG∥AC，与BC交于一点G，
∴∠EGD=∠FCD，∠EGB=∠ACB，
∵D是EF的中点，
∴ED=FD，
在△EGD和△FCD中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠EGD=∠FCD}\\{∠EDG=∠FDC}\\{ED=FD}\end{array}\right.$，
∴△EGD≌△FCD（AAS），
∴EG=CF，
∵BE=CF，
∴EB=EG，
∴∠ABC=∠EGB，
∵∠EGB=∠ACB，
∴∠ABC=∠ACB，
∴AB=AC，
即△ABC是等腰三角形．

点评 本题考查了全等三角形的判定和性质以及等腰三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解决问题的关键．