Question

13．四边形ABCD是正方形，E在正方形外，CE∥BD，EB=BD，BE交DC于F，
求证：
（1）∠BEC=30°；
（2）DE=DF．

Answer 1

分析 （1）过点B作BG⊥CE交EC的延长线于G，证出△BCG是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质求出BG=$\frac{1}{2}$BD=$\frac{1}{2}$BE，由三角函数即可得出结论；
（2）由平行线的性质得出∠DBE=∠BEC=30°，求出∠CBF=15°，得出∠DFE=75°，由等腰三角形的性质得出∠BED=∠BDE=75°，得出∠BED=∠DFE，即可得出DE=DF．

解答 证明：（1）过点B作BG⊥CE交EC的延长线于G，如图所示：
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠CBD=45°，BC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$BD，
∵CE∥BD，
∴∠BCG=∠CBD=45°，
∴△BCG是等腰直角三角形，
∴BG=$\frac{\sqrt{2}}{2}$BC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$×$\frac{\sqrt{2}}{2}$BD=$\frac{1}{2}$BD，
∵EB=BD，
∴BG=$\frac{1}{2}$BE，
又∵BG⊥CE，
∴sin∠BEC=$\frac{1}{2}$，
∴∠BEC=30°．
（2）∵CE∥BD，
∴∠DBE=∠BEC=30°，
∴∠CBF=45°-30°=15°，
∴∠DFE=∠BFC=90°-15°=75°，
∵EB=BD，
∴∠BED=∠BDE=75°，
∴∠BED=∠DFE，
∴DE=DF．

点评 本题考查了正方形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、三角函数；熟练掌握正方形的性质，并能进行推理论证与计算是解决问题的关键．