Question

如图，点A、B、C、D在圆O上，且AB=AC．
（1）若D为弧

BC

上一点，如图①，AD交BC于点E．求证：AB²=AD•AE；
（2）若D为弧

AC

上一点，AD交BC的延长线于点E，（1）中的结论还成立吗？请在图②中补出相应图形，并说明理由．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质,圆周角定理

专题：

分析：（1）如图1，作辅助线；证明△ABE∽△ADB，即可解决问题．
（2）如图2，作辅助线；证明△ABE∽△ADB，即可解决问题．

解答：证明：（1）如图1，连接BD；
则∠D=∠C；
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C，
∴∠ABE=∠D；而∠BAE=∠DAB，
∴△ABE∽△ADB，
∴

AB

AD

=

AE

AB

，
∴AB²=AD•AE．
（2）在图2中，结论AB²=AD•AE仍然成立．理由如下：
如图2，连接BD；
则∠ADB=∠ACB；
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∴∠ABE=∠ADB；
∵∠BAE=∠DAB，
∴△ABE∽△ADB，
∴

AB

AD

=

AE

AB

，
∴AB²=AD•AE．

点评：该题以圆为载体，以考查圆周角定理及其推论、相似三角形的判定及其性质等几何知识点为核心构造而成；解题的关键是作辅助线，构造相似三角形．