Question

16．如图，点A是反比例函数y=$\frac{k}{x}$（k＞0）图象第一象限上一点，过点A作AB⊥x轴于B点，以AB为直径的圆恰好与y轴相切，交反比例函数图象于点C，在AB的左侧半圆上有一动点D，连结CD交AB于点E．记△BDE的面积为S₁，△ACE的面积为S₂，若S₁-S₂的值最大为1，则k的值为4$\sqrt{2}$+4．

Answer 1

分析 如图连接BC、O′C，作CH⊥x轴于H．首先证明四边形BHCO′是正方形．推出∠ABC=45°，推出△ACB是等腰直角三角形，由S₁-S₂=S_△DBC-S_△ACB，△ABC的面积是定值，推出△DBC的面积最大时，S₁-S₂的值最大，推出当DO′⊥BC时，△DBC 的面积最大，可得$\frac{1}{2}$•$\sqrt{2}$m•（m+$\frac{\sqrt{2}}{2}$m）-$\frac{1}{2}$•2m•m=1，解方程即可解决问题．

解答 解：如图连接BC、O′C，作CH⊥x轴于H．

由题意⊙O′与反比例函数图象均关于直线y=x对称，
∴点A、C关于直线y=x对称，设A（m，2m）则C（2m，m），
∴BO′=CH=m，BO′∥CH，
∴四边形BHCO′是平行四边形，∵BH=CH，∠BHC=90°，
∴四边形BHCO′是正方形．
∴∠ABC=45°，
∴△ACB是等腰直角三角形，
∵S₁-S₂=S_△DBC-S_△ACB，△ABC的面积是定值，
∴△DBC的面积最大时，S₁-S₂的值最大，
∴当DO′⊥BC时，△DBC 的面积最大，
∴$\frac{1}{2}$•$\sqrt{2}$m•（m+$\frac{\sqrt{2}}{2}$m）-$\frac{1}{2}$•2m•m=1，
∴m²=2（$\sqrt{2}$+1），
∵k=2m²，
∴k=4$\sqrt{2}$+4，
故答案为4$\sqrt{2}$+4．

点评 本题考查反比例函数综合题、圆的有关性质、正方形的性质、等腰直角三角形的性质、轴对称的性质等知识，解题的关键是学会添加辅助线，构造特殊四边形解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．