Question

4．已知：如图，在△ABC中，∠ABC=45°，tanA=$\frac{3}{4}$，AB=14，
（1）求：△ABC的面积；
（2）若以C为圆心的圆C与直线AB相切，以A为圆心的圆A与圆C相切，试求圆A的半径．

Answer 1

分析 （1）过C作CD⊥AB于D，解直角三角形得到CD=$\frac{45}{7}$，根据三角形的面积公式即可得到结论；
（2）根据圆C与直线AB相切，得到⊙C的半径=$\frac{45}{7}$，根据勾股定理得到AC=$\sqrt{C{D}^{2}+A{D}^{2}}$=$\frac{75}{7}$，设⊙A的半径为r，当圆A与圆C内切时，当圆A与圆C外切时即可得到结论．

解答 解：（1）过C作CD⊥AB于D，
∵tanA=$\frac{CD}{AD}$=$\frac{3}{4}$，
∴AD=$\frac{4CD}{3}$，
∵∠ABC=45°，
∴BD=CD，
∵AB=14，
∴$\frac{4CD}{3}$+CD=15，
∴CD=$\frac{45}{7}$，
∴△ABC的面积=$\frac{1}{2}$AB•CD=$\frac{1}{2}$×15×$\frac{45}{7}$=$\frac{675}{14}$；
（2）∵以C为圆心的圆C与直线AB相切，
∴⊙C的半径=$\frac{45}{7}$，
∵AD=$\frac{60}{7}$，
∴AC=$\sqrt{C{D}^{2}+A{D}^{2}}$=$\frac{75}{7}$，
设⊙A的半径为r，
当圆A与圆C内切时，r-$\frac{45}{7}$=$\frac{75}{7}$，
∴r=$\frac{120}{7}$，
当圆A与圆C外切时，r+$\frac{45}{7}$=$\frac{75}{7}$，
∴r=$\frac{30}{7}$，
综上所述：以A为圆心的圆A与圆C相切，圆A的半径为：$\frac{120}{7}$或$\frac{30}{7}$．

点评 本题考查了圆与圆的位置关系，勾股定理，三角形的面积的计算，解直角三角形，注意分类讨论思想的应用．