Question

1．如图，在平面直角坐标系中，直线y=$\frac{3}{2}$x+6与x轴交于点A，与y轴交于点B，P为线段AB上一动点（不与A，B两点重合），过点P作PM⊥x轴，PN⊥y轴，垂足分别为M，N．设OM=a，四边形PMON面积为s．
（1）A，B两点的坐标为（-4，0），（0，6），a的取值范围是0＜a＜4；
（2）求s与a的函数表达式及s的最大值；
（3）当s=$\frac{35}{6}$时，求点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）由直角解析式可求得A、B的坐标，由P在线段AB上运动，可知M在线段OA上运动，则可求得a的取值范围；
（2）用a可表示出PM和PN的长，则可求得s与a的函数表达式，利用二次函数的性质可求得其最大值；
（3）代入（2）中所求函数表达式，可求得对应的a的值，从而可求得P点坐标．

解答 解：
（1）在y=$\frac{3}{2}$x+6中，令y=0可求得x=-4，令x=0可求得y=6，
∴A（-4，0），B（0，6），
∵P为线段AB上一动点（不与A，B两点重合），过点P作PM⊥x轴，
∴点M在线段OA上运动，
∴0＜a＜4，
故答案为：（-4，0），（0，6）；0＜a＜4；
（2）∵P为线段AB上一动点（不与A，B两点重合），PM⊥x轴，PN⊥y轴，且OM=a，
∴P（-a，-$\frac{3}{2}$a+6），
∴PM=-$\frac{3}{2}$a+6，
∵四边形PMON为矩形，
∴s=OM•PM=a（-$\frac{3}{2}$a+6）=-$\frac{3}{2}$a²+6a=-$\frac{3}{2}$（a-2）²+6，
∵-$\frac{3}{2}$＜0，
∴当a=2时，s有最大值，最大值为6；
（3）当s=$\frac{35}{6}$时，则有$\frac{35}{6}$=-$\frac{3}{2}$a²+6a，解得a=$\frac{5}{3}$或a=$\frac{7}{3}$，
∴P点坐标为（-$\frac{5}{3}$，$\frac{17}{2}$）或（-$\frac{7}{3}$，$\frac{19}{2}$）．

点评 本题为一次函数的综合应用，涉及函数图象与坐标轴的交点、矩形的面积、二次函数的性质等知识点．在（1）中注意函数图象与坐标轴的交点的求法，在（2）中用a表示出PM的长是解题的关键，在（3）中利用函数值即可求得对应的自变量a的值．本题考查知识点较多，综合性较强，但难度不大，较易得分．