题目内容
6．
（1）我们知道，将一条线段AB分割成大小两条线段AP、PB，使AP＞PB，点P把线段AB分成两条线段AP和BP，且$\frac{AP}{AB}$=$\frac{BP}{AP}$，点P就是线段AB的黄金分割点，此时$\frac{PA}{AB}$的值为$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$ （填一个实数）：（2）如图，Rt△ABC中，∠B=90°，AB=2BC，现以C为圆心、CB长为半径画弧交边AC于D，再以A为圆心、AD长为半径画弧交边AB于E．
求证：点E是线段AB的黄金分割点．
分析 （1）根据题意列出一元二次方程，解方程即可；
（2）设BC=a，根据题意用a表示出AB、AC，结合图形、根据黄金分割的定义判断即可．
解答 解：（1）设AB长为1，P为线段AB上符合题意的一点，AP=x，则BP=1-x，
根据题意得，$\frac{x}{1}$=$\frac{1-x}{x}$，
解得，${x_1}=\frac{{\sqrt{5}-1}}{2}，{x_2}=\frac{{-\sqrt{5}-1}}{2}$（舍去），
故$\frac{PA}{AB}=\frac{{\sqrt{5}-1}}{2}$，
故答案为：$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$；
（2）设BC=a，则AB=2a，
则AC=$\sqrt{5}$a，
由题意得，CD=BC=a，
∴AE=AD=$\sqrt{5}$a-a，
BE=AB-AE=3a-$\sqrt{5}$a，
∴$\frac{AE}{AB}$=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，$\frac{BE}{AE}$=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，
∴$\frac{AE}{AB}$=$\frac{BE}{AE}$，即点E是线段AB的黄金分割点．
点评 本题考查的是黄金分割的概念和性质，掌握把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项，叫做把线段AB黄金分割是解题的关键．
练习册系列答案
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