Question

11．如图，点P是菱形ABCD对角线BD上一点，连接CP并延长，交AD于点E，交BA的延长线于点F，则线段PC、PE、PF之间存在的数量关系是（　　）

• A． 2PC=PE+PF
• B． 2PC=PE•PF
• C． PC²=PE•PF
• D． PC²=$\frac{PF}{PE}$

Answer 1

分析 根据菱形的性质得∠ADP=∠CDP，DA=DC，从而得到△APD与△CPD全等，根据全等三角形的性质得到∠DCP=∠DAP，根据菱形的对边互相平行得∠DCF=∠F，从而证得△PAE∽△PFA，然后利用比例线段证得等积式即可．

解答 解：∵四边形ABCD为菱形，
∴∠ADP=∠CDP，DC=DA，
在△APD和△CPD中，$\left\{\begin{array}{l}{DC=DA}\\{∠ADP=∠CDP}\\{DP=DP}\end{array}\right.$，
∴△APD≌△CPD（SAS）；
∴PA=PC，∠DCP=∠DAP，
∵四边形ABCD为菱形，
∴∠DCF=∠F，
∴∠F=∠PAE，
∴△PAE∽△PFA，
∴$\frac{PA}{PE}=\frac{PF}{PA}$，
即：PA²=PE•PF，
∴PC²=PE•PF．
故选C．

点评 本题考查了菱形的性质、全等三角形的判定及相似三角形的判定及性质，是一道不错的综合题．