Question

7．如图，抛物线y=ax²+bx与x轴的正半轴交于点A，抛物线的顶点为B，且点B的纵坐标为6，直线y=kx-6k经过A、B两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点C在抛物线上，使得S_△ABC=10，求点C的坐标．

Answer 1

分析 （1）先求出一次函数与x轴的交点A的坐标（6，0），则可得到顶点B的坐标为（3，6），设顶点式y=a（x-3）²+6，然后把A点代入求出a即可得到抛物线解析式；
（2）作BD⊥x轴于D，CE⊥x轴于E，如图，设C（x，-$\frac{2}{3}$x²+4x），利用S_△ABC=S_梯形BDEC+S_△ABD-S_△ACE得到x²-3x-9=10，然后解方程求出x即可得到C点坐标．

解答 解：（1）当y=0时，kx-6k=0，解得x=6，则A（6，0），
∴抛物线的对称轴为直线x=3，
∴顶点B的坐标为（3，6），
设抛物线的解析式为y=a（x-3）²+6，
把A（6，0）代入得a（6-3）²+6=0，解得a=-$\frac{2}{3}$，
∴抛物线的解析式为y=-$\frac{2}{3}$（x-3）²+6，即y=-$\frac{2}{3}$x²+4x；

（2）作BD⊥x轴于D，CE⊥x轴于E，如图，
设C（x，-$\frac{2}{3}$x²+4x）
∵S_△ABC=S_梯形BDEC+S_△ABD-S_△ACE=$\frac{1}{2}$（-$\frac{2}{3}$x²+4x+6）•（3-x）+$\frac{1}{2}$•6•3-$\frac{1}{2}$（-$\frac{2}{3}$x²+4x+6）•（6-x）=x²-3x-9，
∴x²-3x-9=10，解得x₁=$\frac{3+\sqrt{85}}{2}$，x₂=$\frac{3-\sqrt{85}}{2}$，
∴点C的纵坐标为（$\frac{3+\sqrt{85}}{2}$，$\frac{-29+3\sqrt{85}}{3}$）或（$\frac{3-\sqrt{85}}{2}$，$\frac{-29+3\sqrt{85}}{3}$）．

点评 本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax²+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化解关于x的一元二次方程．也考查了一次函数的性质．