Question

20．在△ABC中，己知BC=20cm，BC边上的高AM=16cm，在三角形内截取一个面积最大的矩形，并使它的一边在BC上，求此时矩形的长和宽．

Answer 1

分析 设矩形EFGH的宽EF=x，根据相似三角形对应高的比等于相似比列式求出EH，再根据矩形的面积列式整理，然后根据二次函数的最值问题解答即可

解答 解：如图，设矩形EFGH的宽EF=x，则AN=AM-MN=12-x，
∵矩形的对边EH∥FG，
∴△AEH∽△ABC，
∴$\frac{AN}{AM}=\frac{EH}{BC}$，
即$\frac{16-x}{16}=\frac{EH}{20}$，
解得：EH=20-$\frac{5x}{4}$，
四边形EFGH的面积=x•（20-$\frac{5x}{4}$）=-$\frac{5}{4}$x²+20x=-$\frac{5}{4}$（x-8）²+80，
所以，当x=8，即EF=8时，四边形EFGH最大面积为80cm²，
此时EH=20-$\frac{5}{4}×8$=10，
∴此时矩形的长和宽分别是10cm，8cm．

点评 本题考查了相似三角形的应用，二次函数的最值问题，根据相似三角形的对应高的比等于相似比用矩形EFGH的宽表示出长是解题的关键．