Question

5．如图，正方形ABCD的边长为4，P是BC边上一点，QP⊥AP交DC于Q，如果BP=x，△ADQ的面积为y，用含x的代数式表示y．

Answer 1

分析 Rt△ADQ中，已知了直角边AD的长，欲求其面积，需求得直角边DQ的长，已知∠APQ=90°，显然△ABP∽△PCQ，用x表示出BP、CP的长，根据相似三角形所得比例线段，即可求得CQ的表达式，可得到DQ的表达式，从而根据直角三角形的面积公式求出y、x的函数关系式．

解答 解：∵∠BAP+∠BPA=90°，∠BPA+∠CPQ=90°，
∴∠BAP=∠CPQ．
又∵∠B=∠C=90°，
∴△ABP∽△PCQ，
∴$\frac{AB}{PC}=\frac{BP}{CQ}$．
∴CQ=$\frac{BP•PC}{AB}$=$\frac{x（4-x）}{4}$=$\frac{1}{4}$x²+x．
∴DQ=$\frac{1}{4}$x²-x+4
∴S_△ADQ=$\frac{1}{2}$AD•DQ=$\frac{1}{2}$×4×（$\frac{1}{4}$x²-x+4）=$\frac{1}{2}$x²-2x+8．
∴y=$\frac{1}{2}$x²-2x+8．

点评 本题主要考查的是相似三角形的性质和判定，求得DQ的长度（用含x的代数式表示）是解题的关键．