Question

2．如图，点E在CA延长线上，DE、AB交于F，且∠BDE=∠AEF，∠B=∠C，∠EFA比∠FDC的余角小10°，P为线段DC上一动点，Q为PC上一点，且满足∠FQP=∠QFP，FM为∠EFP的平分线．则下列结论：
①AB∥CD；
②FQ平分∠AFP； 
③∠B+∠E=140°； 
④∠QFM的角度为定值．
其中正确结论的个数有（　　）

• A． 1个
• B． 2个
• C． 3个
• D． 4个

Answer 1

分析 ①由∠BDE=∠AEF可得出AE∥BD，进而可得出∠B=∠EAF，结合∠B=∠C可得出∠EAF=∠C，根据“同位角相等，两直线平行”可得出AB∥CD，结论①正确；②由AB∥CD可得出∠AFQ=∠FQP，结合∠FQP=∠QFP可得出∠AFQ=∠QFP，即FQ平分∠AFP，结论②正确；③由AB∥CD可得出∠EFA=∠FDC，结合∠EFA比∠FDC的余角小10°可求出∠EFA的度数，再由∠B=∠EAF结合三角形内角和定理可求出∠B+∠E=140°，结论③正确；④根据角平分线的定义可得出∠MFP=$\frac{1}{2}$∠EFA+$\frac{1}{2}$∠AFP以及∠QFP=$\frac{1}{2}$∠AFP，将其代入∠QFM=∠MFP-∠QFP可求出∠QFM的角度为定值20°，结论④正确．综上即可得出结论．

解答 解：①∵∠BDE=∠AEF，
∴∴AE∥BD，
∴∠B=∠EAF．
∵∠B=∠C，
∴∠EAF=∠C，
∴AB∥CD，结论①正确；
②∵AB∥CD，
∴∠AFQ=∠FQP．
∵∠FQP=∠QFP，
∴∠AFQ=∠QFP，
∴FQ平分∠AFP，结论②正确；
③∵AB∥CD，
∴∠EFA=∠FDC．
∵∠EFA比∠FDC的余角小10°，
∴∠EFA=40°．
∵∠B=∠EAF，∠EAF+∠E+∠EFA=180°，
∴∠B+∠E=180°-∠EFA=140°，结论③正确；
④∵FM为∠EFP的平分线，
∴∠MFP=$\frac{1}{2}$∠EFP=$\frac{1}{2}$∠EFA+$\frac{1}{2}$∠AFP．
∵∠AFQ=∠QFP，
∴∠QFP=$\frac{1}{2}$∠AFP，
∴∠QFM=∠MFP-∠QFP=$\frac{1}{2}$∠EFA=20°，结论④正确．
综上所述：正确的结论有①②③④．
故选D．

点评 本题考查了平行线的判定与性质、余角和补角、角平分线的定义以及三角形内角和定理，逐一分析四条结论的正误是解题的关键．