Question

17．如图，在四边形ABCD中，∠A=30°，∠C=90°，∠ADB=105°，sin∠BDC=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，AD=4．则DC的长=$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 作DH⊥AB于H，如图，在Rt△ADH中，由∠A=30°得到∠ADB=60°，DH=$\frac{1}{2}$AD=2，则可计算出∠BDH=45°，于是得到BD=$\sqrt{2}$DH=2$\sqrt{2}$，然后在Rt△BCD中，利用∠BDC的正弦可计算出BC=$\sqrt{6}$，再根据勾股定理可计算出CD的长．

解答 解：作DH⊥AB于H，如图，
∵∠A=30°，
∴∠ADB=60°，DH=$\frac{1}{2}$AD=2，
∵∠ADB=105°，
∴∠BDH=45°，
∴△BDH为等腰直角三角形，
∴BD=$\sqrt{2}$DH=2$\sqrt{2}$，
在Rt△BCD中，∵sin∠BDC=$\frac{BC}{BD}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴BC=2$\sqrt{2}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\sqrt{6}$，
∴CD=$\sqrt{B{D}^{2}-B{C}^{2}}$=$\sqrt{2}$．
故答案为$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．合理作辅助线构建特殊直角三角形是解决问题的关键．