Question

8．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以三边BC，CA，AB为直径向外作半圆，这些半圆的面积分别为S₁，S₂，S₃，则S₁，S₂，S₃的关系是（　　）

• A． S₁+S₂=S₃
• B． S₁²+S₂²=S₃²
• C． $\sqrt{{S}_{1}}$+$\sqrt{{S}_{2}}$=$\sqrt{{S}_{3}}$
• D． 无法确定

Answer 1

分析 根据勾股定理得出BC²+AC²=AB²，再根据圆面积公式，可以得出S₁+S₂=S₃．

解答 解：∵∠ACB=90°，
∴BC²+AC²=AB²，
∵S₁=$\frac{1}{2}$π（$\frac{BC}{2}$）²=$\frac{πB{C}^{2}}{8}$；
S₂=$\frac{1}{2}$π（$\frac{AC}{2}$）²=$\frac{πA{C}^{2}}{8}$；
S₃=$\frac{1}{2}$π（$\frac{AB}{2}$）²=$\frac{πA{B}^{2}}{8}$；
∴S₁+S₂=$\frac{π}{8}$（BC²+AC²）=$\frac{π}{8}$AB²=S₃，
即S₁+S₂=S₃．
故选：A．

点评 本题考查了勾股定理、圆的面积公式；熟练掌握勾股定理，正确计算各个半圆的面积是解决问题的关键．