Question

9．如图1是一个拱形桥，该拱形桥及河道截面的示意图如图2所示，该示意图由抛物线的一部分ABC（B是该抛物线的顶点）和矩形的三边AO，OD，CD组成．已知河底OD是水平的，OD=10米，CD=8米，点B到河底的距离是A到河底的距离的1.5倍．以OD所在的直线为x轴，OA所在的直线为y轴建立平面直角坐标系．
（1）求点B的坐标及抛物线的解析式；
（2）一行人走在该拱形桥上面，帽子（点M）不小心掉进了河里（漂在河面上），该行人在A处用一根2.5米长的木棍恰好能钩到距离点E1.5米的帽子，求此时河水的高度；
（3）已知从某时刻开始的36小时内，水面与河底的距离h（米）随时间t（小时）的变化满足函数关系h=-$\frac{1}{128}$（t-17）²+9（0≤t≤36），且当水面到顶点B的距离不大于5米时，需禁止船只通行，求在这段时间内，需要多长时间禁止船只通行？

Answer 1

分析 （1）根据题意得出B点坐标，进而利用顶点式求出函数解析式即可；
（2）利用勾股定理得出AE的长进而得出答案；
（3）利用已知函数解析式结合题意得出h=7时的时间，进而得出答案．

解答 解：（1）由题意可得：AO=CD=8m，B点纵坐标为：1.5×8=12，则B点坐标为：（5，12），
设抛物线解析式为：y=a（x-5）²+12，将A（0，8）代入解析式得：
8=a（0-5）²+12，
解得：a=-$\frac{4}{25}$．
故抛物线解析式为：y=-$\frac{4}{25}$（x-5）²+12；

（2）连接AM，
由题意可得：AM=2.5m，EM=1.5m，
在Rt△AEM中，AE=$\sqrt{A{M}^{2}+E{M}^{2}}$=2（m），
则EO=8-2=6（m），故此时河水的高度为6米；

（3）当水面到顶点B的距离为5米时，此时h=7，则7=-$\frac{1}{128}$（t-17）²+9，
解得：t₁=1，t₂=33．
则在1～33小时这段时间内，即需要33-1=32（小时）禁止船只通行．

点评 此题主要考查了二次函数的应用以及勾股定理等知识，根据题意得出B点坐标是解题关键．