我们知道平行四边形有很多性质．现在如果我们把平行四边形沿着它的一条对角线翻折．会发现这其中还有更多的结论.如图.已知平行四边形ABCD中.∠B=30°.AB≠BC.将△ABC沿AC翻折至△AB′C.连接B′D．[发现与证明]:如图1:求证:①△AGC是等腰三角形,②B′D∥AC[应用与解答]:如图2:如果AB=2$\sqrt{3}$.BC=1.AB′与CD相交于� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

4．我们知道平行四边形有很多性质．现在如果我们把平行四边形沿着它的一条对角线翻折．会发现这其中还有更多的结论，如图，已知平行四边形ABCD中，∠B=30°，AB≠BC，将△ABC沿AC翻折至△AB′C，连接B′D．
【发现与证明】：如图1：求证：①△AGC是等腰三角形；②B′D∥AC
【应用与解答】：如图2：如果AB=2$\sqrt{3}$，BC=1，AB′与CD相交于点E，求△AEC的面积
【拓展与探索】：如果AB=2$\sqrt{3}$，当BC的长为多少时，△AB′D是直角三角形？

分析 [发现与证明]：①由平行四边形的性质得出∠GAC=∠ACB，由翻折的性质得出∠ACB=∠ACB′，证出∠GAC=∠ACB′，得出AG=CG；
②得出DG=B′G，证出∠CB′D=∠B′DA=$\frac{1}{2}$（180°-∠B′GD），由∠AGC=∠B′GD，得出∠ACB′=∠CB′D，即可得出B′D∥AC；
【应用与解答】：作CF⊥AB′于F，通过解直角三角形求得CF=$\frac{1}{2}$，B′F=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，进而求得AF=2$\sqrt{3}$-$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，设AE=CE=x，则EF=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$-x，根据勾股定理即可求得x值，即AE的值，然后根据三角形的面积公式即可求得△AEC的面积；
【拓展与探索】：先证得四边形ACB′D是等腰梯形，根据等腰梯形的性质得出∠AB′C=∠CDA=30°，∠B′AD=∠DCB′=90°，设∠ADB′=∠CB′D=y，则∠AB′D=y-30°，根据∠AB′D+∠ADB′=90°，得出y-30°+y=90°，解得y=60°，进而求得∠AB′D=30°，通过解直角三角形即可求得BC．

解答解：【发现与证明】：如图1，
①∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠DAC=∠ACB，
∵将△ABC沿AC翻折至△AB′C，
∴∠ACB′=∠ACB，
∴∠DAC=∠ACB′，
∴AG=CG，
∴△AGC是等腰三角形；
②∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，
∵将△ABC沿AC翻折至△AB′C，
∵B′C=BC，
∴B′C=AD，
∴B′G=DG，
∴∠CB′D=∠ADB′，
∵∠AGC=∠B′GD，∠ACB′=∠CAD，
∴∠ADB′=∠DAC，
∴B′D∥AC；
【应用与解答】：如图2，
作CF⊥AB′于F，
∵∠B=30°，
∴∠AB′C=30°，
∴CF=$\frac{1}{2}$B′C=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{1}{2}$，B′F=$\frac{\sqrt{3}}{2}$B′C=$\frac{\sqrt{3}}{2}$BC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∵AB′=AB=2$\sqrt{3}$，
∴AF=2$\sqrt{3}$-$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，
设AE=CE=x，则EF=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$-x，
∵CF²+EF²=CE²，
∴（$\frac{1}{2}$）²+（$\frac{3\sqrt{3}}{2}$-x）²=x²，
解得x=$\frac{7\sqrt{3}}{9}$，
∴AE=$\frac{7\sqrt{3}}{9}$，
∴△AEC的面积=$\frac{1}{2}$AE•CF=$\frac{1}{2}$×$\frac{7\sqrt{3}}{9}$×$\frac{1}{2}$=$\frac{7\sqrt{3}}{36}$；
【拓展与探索】：如图2，
∵AD=BC，BC=B′C，
∴AD=B′C，
∵AC∥B′D，
∴四边形ACB′D是等腰梯形，
∵∠B=30°，∴∠AB′C=∠CDA=30°，
∵△AB′D是直角三角形，
当∠B′AD=90°，AB＞BC时，
设∠ADB′=∠CB′D=y，
∴∠AB′D=y-30°，
∵∠AB′D+∠ADB′=90°，
∴y-30°+y=90°，
解得y=60°，
∴∠AB′D=y-30°=30°，
∵AB′=AB=2$\sqrt{3}$，
∴AD=$\frac{\sqrt{3}}{3}$×2$\sqrt{3}$=2，
∴BC=2，
当∠ADB′=90°，AB＞BC时，如图3，
∵AD=BC，BC=B′C，
∴AD=B′C，
∵AC∥B′D，
∴四边形ACB′D是等腰梯形，
∵∠ADB′=90°，
∴四边形ACB′D是矩形，
∴∠ACB′=90°，
∴∠ACB=90°，
∵∠B=30°，AB=2$\sqrt{3}$，
∴BC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$AB=$\frac{\sqrt{3}}{2}$×2$\sqrt{3}$=3；
当∠B′AD=90°AB＜BC时，如图4，
∵AD=BC，BC=B′C，
∴AD=B′C，
∵AC∥B′D，∠B′AD=90°，
∴∠B′GC=90°，
∵∠B=30°，AB=2$\sqrt{3}$，
∴∠AB′C=30°，
∴GC=$\frac{1}{2}$B′C=$\frac{1}{2}$BC，
∴G是BC的中点，
在RT△ABG中，BG=$\frac{\sqrt{3}}{2}$AB=$\frac{\sqrt{3}}{2}$×2$\sqrt{3}$=3，
∴BC=6；
当∠AB′D=90°时，如图5，
∵AD=BC，BC=B′C，
∴AD=B′C，
∵AC∥B′D，
∴四边形ACDB′是等腰梯形，
∵∠AB′D=90°，
∴四边形ACDB′是矩形，
∴∠BAC=90°，
∵∠B=30°，AB=2$\sqrt{3}$，
∴BC=AB÷$\frac{\sqrt{3}}{2}$=2$\sqrt{3}$×$\frac{1}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=4；
∴已知当BC的长为2或3或4或6时，△AB′D是直角三角形．