Question

1．定义：如图1，平面上两条直线AB、CD相交于点O，对于平面内任意一点M，点M到直线AB、CD的距离分别为p、q，则称有序实数对（p，q）是点M的“距离坐标”．根据上述定义，“距离坐标”为（0，0）点有1个，即点O．
（1）“距离坐标”为（1，0）点有2个；
（2）如图2，若点M在过点O且与直线CD垂直的直线l上时，点M的“距离坐标”为（p，q），且∠BOD=120°．请画出图形，并直接写出p，q的关系式；
（3）如图3，点M的“距离坐标”为（1，$\sqrt{3}$），且∠AOB=30°，求OM的长．

Answer 1

分析 （1）根据两条相交直线把平面分成四部分，在每一个部分内都存在一个满足要求的距离坐标解答；
（2）过M作MN⊥AB于N，根据已知得出OM=n，MN=m，求出∠NOM=30°，根据锐角三角函数得出cos30°=$\frac{ON}{OM}=\frac{p}{q}$，求出即可；
（3）分别作点M关于OA、OB的对称点E、F，连接EF、OE、OF、EM、FM，根据直角三角形的性质解答即可．

解答 解：（1）“距离坐标”为（1，0）点有2个；
故答案为：2；
（2）过M作MN⊥AB于N，如图2：

∵直线l⊥CD于O，∠BOD=120°，
∴∠MON=30°．
∵ON=p，OM=q，
∴$p=\frac{\sqrt{3}}{2}q$；
（3）分别作点M关于OA、OB的对称点E、F，连接EF、OE、OF、EM、FM，如图3：

∴△OEC≌△OMC，△OFD≌△OMD．
∴∠AOM=∠AOE，∠BOM=∠BOF，OM=OE=OF，
∴∠EOF=60°，
∴OM=OE=OF=EF，
∵MD=1，MC=$\sqrt{3}$，
∴MF=2，ME=$2\sqrt{3}$，
∵∠AOB=30°，
∴∠CMD=150°，
过F做FG⊥CM，交CM延长线于G，如图2：
∴∠FMG=30°．
在Rt△FMG中，FG=1，MG=$\sqrt{3}$，
在Rt△EFG中，FG=1，EG=$3\sqrt{3}$，
∴EF=$\sqrt{（3\sqrt{3}）^{2}+1}=2\sqrt{7}$，
∴OM=$2\sqrt{7}$．

点评 本题考查了几何变换问题，关键是根据锐角三角函数值，含30度角的直角三角形的应用，主要考查学生的动手操作能力和计算能力，注意：角平分线上的点到角两边的距离相等．