Question

1．如图，在矩形ABCD中，AB=l，BC=2，点E在AD上，且ED=3AE．
（1）求证：△ABC∽△EAB．     
（2）AC与BE交于点H，求HC的长．

Answer 1

分析 （1）只要证明$\frac{AB}{AE}$=$\frac{BC}{AB}$，根据两边成比例夹角相等两三角形相似即可判断．
（2）首先证明BH⊥AC，根据$\frac{1}{2}$•AB•BC=$\frac{1}{2}$•AC•BH求出BH，再根据勾股定理即可解决问题．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD=1，BC=AD=2，∠ABC=∠BAD=90°，
∵ED=3AE，
∴AE=$\frac{1}{2}$，ED=$\frac{3}{2}$，
∵$\frac{AB}{AE}$=2，$\frac{BC}{AB}$=2，
∴$\frac{AB}{AE}$=$\frac{BC}{AB}$，
∵∠ABC=∠BAE=90°，
∴△ABC∽△EAB．
（2）解：∵△ABC∽△EAB，
∴∠ACB=∠ABE，
∵∠ABE+∠CBH=90°，
∴∠ACB+∠CBE=90°，
∴∠BHC=90°，
∴BH⊥AC，
在RT△ACB中，∵∠ABC=90°，AB=1，BC=2，
∴AC=$\sqrt{A{B}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{{1}^{2}+{2}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
∵$\frac{1}{2}$•AB•BC=$\frac{1}{2}$•AC•BH，
∴BH=$\frac{AB•BC}{AC}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
∴CH=$\sqrt{C{B}^{2}-B{H}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}-（\frac{2\sqrt{5}}{5}）^{2}}$=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$．

点评 本题考查相似三角形的判断和性质、矩形的性质等知识，解题的关键是利用两边成比例夹角相等证明两三角形相似，发现BH⊥AC这个突破口，属于中考常考题型．