Question

如图，在△ABC中，AB=AC，BD是AC边上的高，过点A作直线L，分别过B、C作BE⊥L，CF⊥L，E、F是垂足．证明：
（1）A、E、B、D四点共圆；
（2）DE=CF．

Answer 1

考点：四点共圆

专题：证明题

分析：（1）取AB的中点O，连接OE、OD，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得OE=OA=OB=OD，即可得到A、E、B、D四点共圆．
（2）根据正弦定理可得

ED

sin∠EBD

=AB，根据圆内接四边形的性质可得∠FAC=∠EBD，从而有sin∠FAC=

ED

AB

，在Rt△FAC中，根据三角函数的定义可得sin∠FAC=

FC

AC

，从而有

ED

AB

=

FC

AC

．由AB=AC就可得到ED=FC．

解答：证明：（1）取AB的中点O，连接OE、OD，如图．
∵BE⊥EA，BD⊥AC，
∴∠BEA=∠ADB=90°．
∵点O为AB的中点，
∴OE=OA=OB=OD，
∴A、E、B、D在以AB为直径的圆上，
即A、E、B、D四点共圆．

（2）如图，
∵四边形AEBD是以AB为直径的圆内接四边形，
∴

ED

sin∠EBD

=AB（正弦定理），∠FAC=∠EBD，
∴sin∠FAC=

ED

AB

．
在Rt△FAC中，有sin∠FAC=

FC

AC

，
∴

ED

AB

=

FC

AC

．
∵AB=AC，
∴ED=FC．

点评：本题考查了四点共圆的判定、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、圆内接四边形的性质、正弦定理、三角函数的定义等知识，运用正弦定理及圆内接四边形的性质则是解决第（2）小题的关键．