Question

已知抛物线y=ax²+bx+c（a＜0）交x轴于点A（-3，0）、B（1，0），交y轴于点C，顶点为P，以PA为直径的⊙D恰好过点C．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）抛物线的对称轴、顶点坐标；
（3）求当x为何值时，y随x的增大而减小？

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）由抛物线y=ax²+bx+c（a＜0）交x轴于点A（-3，0）、B（1，0），可得b=2a，c=-3a，对称轴为直线x=-1，又由以PA为直径的⊙D恰好过点C，可得∠ACP=90°，然后由勾股定理得到方程：（3-1）²+（4a）²=[3²+（3a）²]+[1²+（4a-3a）²]，解此方程即可求得答案；
（2）利用配方法即可求得抛物线的对称轴、顶点坐标；
（3）根据图象即可求得当x为何值时，y随x的增大而减小．

解答：解：（1）如图，∵抛物线y=ax²+bx+c（a＜0）交x轴于点A（-3，0）、B（1，0），
∴

9a-3b+c=0 a+b+c=0

，
∴

b=2a c=-3a

，
∵以PA为直径的⊙D恰好过点C，
∴∠ACP=90°，
∴AP²=AC²+PC²，
∵抛物线y=ax²+bx+c（a＜0）交x轴于点A（-3，0）、B（1，0），
∴抛物线y=ax²+bx+c的对称轴为直线x=-1，
∴点P（-1，a-b+c）即（-1，-4a），
∵抛物线y=ax²+bx+c（a＜0）交y轴于点C，
∴点C（0，c），即（0，-3a），
∴（3-1）²+（4a）²=[3²+（3a）²]+[1²+（4a-3a）²]，
解得：a=±1，
∵a＜0，
∴a=-1，
∴b=-2，c=3，
∴该抛物线的解析式为：y=-x²-2x+3；

（2）∵y=-x²-2x+3=-（x+1）²+4，
∴抛物线的对称轴为直线x=-1，顶点坐标为（-1，4）；

（3）如图，当x＞-1时，y随x的增大而减小．

点评：此题考查了待定系数法求二次函数的解析式、圆周角定理以及勾股定理等知识．此题难度较大，综合性较强，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．