Question

已知：圆的内接四边形ABCD的对角线AC和BD互相垂直，OG⊥BC，求证：OG=

1

2

AD．

Answer 1

考点：三角形中位线定理,圆心角、弧、弦的关系,圆周角定理

专题：证明题

分析：如图，连接BO并延长BO交圆O于E，连接AE、DE．构建OG是△BCE的中位线，由三角形中位线定理证得结论．

解答：证明：如图，连接BO并延长BO交圆O于E，连接AE、DE、EC．
∵BE是直径，
∴∠BAE=∠BDE=90°．
∵AC⊥BD，
∴AC∥DE，
∴

AD

=

CE

．
∵

AE

=

AD

+

DE

，

CD

=

CE

+

DE

，
∴

AE

=

CD

，
∴AD=CE．
∵G为BC中点，OB=OE，
∴OG是△BCE的中位线，
∴OG=

1

2

CE，
∴OG=

1

2

AD．

点评：本题考查了三角形中位线定理，圆周角定理以及圆心角、弧、弦的关系．解答此题的关键是根据题意作出辅助线．