题目内容
12．如图1，若抛物线L1的顶点A在抛物线L2上，抛物线L2的顶点B也在抛物线L1上（点A与点B不重合），我们定义：这样的两条抛物L1，L2互为“友好”抛物线，可见一条抛物线的“友好”抛物线可以有多条．（1）如图2，已知抛物线L3：y=2x2-8x+4与y轴交于点C，试求出点C关于该抛物线对称轴对称的点D的坐标；
（2）请求出以点D为顶点的L3的友好抛物线L4的解析式，并指出L3与L4中y同时随x增大而增大的自变量的取值范围；
（3）若抛物y=a1 （x-m）2+n的任意一条友好抛物线的解析式为y=a2 （x-h）2+k，请写出a1与a2的关系式，并说明理由．
分析 （1）设x=0，求出y的值，即可得到C的坐标，把抛物线L3：y=2x2-8x+4配方即可得到抛物线的对称轴，由此可求出点C关于该抛物线对称轴对称的对称点D的坐标；
（2）由（1）可知点D的坐标为（4，4），再由条件以点D为顶点的L3的“友好”抛物线L4的解析式，可求出L4的解析式，进而可求出L3与L4中y同时随x增大而增大的自变量的取值范围；
（3）根据：抛物线L1的顶点A在抛物线L2上，抛物线L2的顶点B也在抛物线L1上，可以列出两个方程，相加可得（a1+a2）（h-m）2=0．可得a1=-a2．
解答 解：（1）∵抛物线L3：y=2x2-8x+4，
∴y=2（x-2）2-4，
∴顶点为（2，4），对称轴为x=2，
设x=0，则y=4，
∴C（0，4），
∴点C关于该抛物线对称轴对称的对称点D的坐标为：（4，4）；
（2）∵以点D（4，4）为顶点的L3的友好抛物线L4还过点（2，-4），
∴L4的解析式为y=-2（x-4）2+4，
由图象可知，当2≤x≤4时，抛物线L3与L4中y同时随x增大而增大；
（3）a1与a2的关系式为a1+a2=0或a1=-a2．…8分
理由如下：
∵抛物线y=a1 （x-m）2+n的一条“友好”抛物线的解析式为y=a2 （x-h）2+k，
∴y=a2 （x-h）2+k过点（m，n），且y=a1 （x-m）2+n过点（h，k），即
k=a1 （h-m）2+n…①
n=a2 （m-h）2+k…②
由①+②得（a1+a2）（h-m）2=0．
又“友好”抛物线的顶点不重合，
∴h≠m，
∴a1+a2=0或a1=-a2．
点评 本题属于二次函数的综合题，涉及了抛物线的对称变换、抛物线与坐标轴的交点坐标以及新定义的问题，解答本题的关键是数形结合，特别是（3）问根据已知条件得出方程组求解，有一定难度．
考前必练系列答案
正方形网格中（网格中的每个小正方形边长是1），△ABC的顶点均在格点上，请在所给的直角坐标系中解答下列问题：
| A． | -4没有立方根 | B． | 1的立方根为±1 | C． | $\frac{1}{36}$的立方根是$\frac{1}{6}$ | D． | 5的立方根为$\root{3}{5}$ |
| A． | 0.451×106 | B． | 4.51×105 | C． | 4.51×106 | D． | 45.1×104 |
| A． | 点P在圆O上 | B． | 点P在圆O内 | C． | 点P在圆O外 | D． | 以上都不对 |