Question

3．如图1，已知抛物线y=a（x-1）²+3$\sqrt{3}$（a≠0）经过点A（-2，0），抛物线的顶点为D，过O作射线OM∥AD．过顶点D平行于x轴的直线交射线OM于点C，B在x轴正半轴上，连结BC．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）若动点P从点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿射线OM运动，设点P运动的时间为t（s）．问：当t为何值时，四边形DAOP分别为平行四边形？直角梯形？等腰梯形？
（3）若OC=OB，动点P和动点Q分别从点O和点B同时出发，分别以每秒1个单位长度和2个单位长度的速度沿OC和BO运动，当其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动（图2）．设它们的运动的时间为t（s），连接PQ，是否存在某个时刻，四边形BCPQ的面积最小？如果存在，请求出这个最小值；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）将A的坐标代入y=a（x-1）²+3$\sqrt{3}$，可得a的值，即可得到抛物线的解析式；
（2）根据抛物线的解析式易得顶点D的坐标，作DE⊥x轴于E，可得DE、AE、AD的长，根据平行四边形、直角梯形、等腰梯形的性质，用t将其中的关系表示出来，并求解可得答案；
（3）易证△OBC是等边三角形，作PF⊥x轴于F，可得OQ、PF关于t的关系式，将四边形BCPQ的面积用含t的代数式表示出来，利用二次函数的性质可求得四边形BCPQ面积的最小值及此时t的值．

解答 解：（1）∵抛物线y=a（x-1）²+3$\sqrt{3}$（a≠0）经过点A（-2，0），
∴0=a （-2-1）²+3$\sqrt{3}$，
解得a=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴二次函数的解析式为：y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x²+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$x+$\frac{8\sqrt{3}}{3}$；

（2）如图1．∵D为抛物线的顶点，
∴D（1，3$\sqrt{3}$）．
作DE⊥x轴于E，则DE=3$\sqrt{3}$，AE=3，
∴AD=6，∠DAE=60°．
∵OM∥AD，CD∥x轴，
∴四边形AOCD是平行四边形，
∴OC=AD=6，CD=OA=2，∠DCO=∠DAE=60°．
①当点P运动到C点时，四边形DAOP是平行四边形，
∴OP₁=OC=6，t=6s；
②当DP⊥OM时，四边形DAOP是直角梯形，
∵在Rt△CDP₂中，CD=2，∠DCO=60°，
∴CP₂=1，
∴OP₂=OC-CP₂=6-1=5，t=5s；
③当PD=OA时，四边形DAOP是等腰梯形，
∵CD=OA=2，∠DCO=60°，
∴△CDP₃为等边三角形，
∴CP₃=CD=2，
∴OP₃=OC-CP₃=6-2=4，t=4s．
综上所述：当t分别等于6s、5s、4s时，对应四边形分别是平行四边形、直角梯形、等腰梯形；

（3）存在某个时刻，能够使四边形BCPQ的面积最小．理由如下：
∵OM∥AD，
∴∠COB=∠DAE=60°．
∵OC=OB，
∴△OCB是等边三角形，
∴OB=OC=6．
∵OP=t，BQ=2t，
∴OQ=6-2t（0＜t＜3）．
如图2，作PF⊥x轴于F，则PF=$\frac{\sqrt{3}}{2}$t，
∴S_{四边形BCPQ}=S_△OCB-S_△OPQ
=$\frac{1}{2}$×6×3$\sqrt{3}$-$\frac{1}{2}$（6-2t）×$\frac{\sqrt{3}}{2}$t
=$\frac{\sqrt{3}}{2}$（t-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{63\sqrt{3}}{8}$，
∵$\frac{\sqrt{3}}{2}$＞0，
∴当t=$\frac{\sqrt{3}}{2}$时，S_{四边形BCPQ最小}=$\frac{63\sqrt{3}}{8}$．

点评 本题是二次函数综合题，其中涉及到利用待定系数法求抛物线的解析式，二次函数的性质，平行四边形、直角梯形、等腰梯形的性质，等边三角形的判定与性质，三角形、四边形的面积等知识，综合性较强，难度适中．利用数形结合准确作出辅助线是解题的关键．