Question

20．等边三角形的边长为4，则它的内切圆面积等于（　　）

• A． 4π
• B． $\frac{4}{3}π$
• C． $\frac{2}{3}π$
• D． $\frac{16}{3}π$

Answer 1

分析 根据题意画出等边三角形ABC与内切圆O．首先根据三角形面积计算公式求出S_△ABC，再观察发现三角形ABC的内切圆半径，恰好是三角形ABC内三个三角形的高，因而可以通过面积S_△ABC=S_△AOB+S_△BOC+S_△AOC来计算半径，根据面积公式计算即可．

解答 解：设⊙O与△ABC相切于D，E，F，连接CD，
∵三角形ABC是等边三角形，
∴CD过点O，CD⊥AB，
∴CD=$\frac{\sqrt{3}}{2}$AB=2$\sqrt{3}$，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$AB•CD=4$\sqrt{3}$，
设内切圆半径为r，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$（AB+BC+AC）r=4$\sqrt{3}$，
∴r=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
∴内切圆面积=π×（$\frac{2\sqrt{3}}{3}$）²=$\frac{4}{3}$π．
故选：B．

点评 本题考查了三角形的内切圆和内心，等边三角形的性质，三角形的面积，正确的画出图形是解题的关键．