Question

【题目】如图，点A（-3,0）、点B（0，），直线与x轴、y轴分别交于点D、C，M是平面内一动点，且∠AMB=60°，则MCD面积的最小值是 ________．

Answer 1

【答案】

【解析】

由直线方程求出点D、C的坐标，由已知M是平面内一动点，且∠AMB=60知点M在ΔABM的外接圆上，由已知推导出AB∥CD，则可知要使ΔMCD面积最小，只需点M在AB的垂直平分线上，进而证得ΔABM是等边三角形，通过推理求出点M坐标，即可求得面积最小值.

∵M是平面内一动点，且∠AMB=60，

∴点M在ΔABM的外接圆上，

∵直线与x轴、y轴分别交于点D、C，

∴C（0，），D（4，0），

∴OC=，OD=4，

∴tan∠ODC=，

∴∠ODC=60，

∵点A（-3,0）、点B（0，），

∴OA=3，OB=，

∴tan∠OAB=，且AB=，

∴∠OAB=60，

∴AB∥CD ，

∴当M在AB的垂直平分线上时，ΔMCD的面积最小，此时AM=BM，

∵∠AMB=60，

∴ΔAMB是等边三角形，

∴∠BAM=60，

∴点M在x轴上，且AM=AB=6，

∴点M（3,0）

∴MD=1，

∴ΔMCD的面积最小值为，

故答案为：.