Question

16．如图，AB为⊙0的直径，$\widehat{BC}$=$\widehat{CD}$，CE⊥AD于E，OE交AC于点F．
（1）求证：CE与⊙O相切；
（2）若cos∠BAD=$\frac{4}{5}$，求$\frac{AF}{FC}$的值．

Answer 1

分析 （1）连接OC，由$\widehat{BC}$=$\widehat{CD}$得到∠DAC=∠CAB，然后利用等腰三角形的性质得到∠DAC=∠OCA，接着利用平行线的判定得到AE∥CO，而AE⊥CE，由此得到OC⊥CE，最后利用切线的判定定理即可证明CE为⊙O的切线；
（2）解直角三角形求得$\frac{OG}{OC}$=$\frac{4}{5}$，即可求得$\frac{AG}{OC}$=$\frac{9}{5}$，通过证得△ACE≌△ACG，得出$\frac{AE}{OC}$=$\frac{9}{5}$，证得△AEF∽△COF得出$\frac{AE}{OC}$=$\frac{AF}{FC}$，即可证得$\frac{AF}{FC}$=$\frac{9}{5}$．

解答 （1）证明：如图，连接OC，
∵$\widehat{BC}$=$\widehat{CD}$，
∴∠DAC=∠CAB，
∵OA=OC，
∴∠CAB=∠OCA，
∴∠DAC=∠OCA，
∴AE∥OC，
∵AE⊥CE，
∴OC⊥CE，
∵OC是⊙O直径且C在半径外端，
∴CE为⊙O的切线；

（2）解：作CG⊥AB于G，
∵OC∥AE，
∴∠BOC=∠BAD，
∵cos∠BAD=$\frac{4}{5}$，
∴cos∠BOC=$\frac{OG}{OC}$=$\frac{4}{5}$，
∴$\frac{OG+OC}{OC}$=$\frac{9}{5}$
∵OC=OA，
∴$\frac{AG}{OC}$=$\frac{9}{5}$，
在△ACE和△ACG中
$\left\{\begin{array}{l}{∠DAC=∠CAB}\\{∠AEC=∠AGC}\\{AC=AC}\end{array}\right.$
∴△ACE≌△ACG（AAS），
∴AE=AG，
∴$\frac{AE}{OC}$=$\frac{9}{5}$
∵OC∥AE，
∴△AEF∽△COF，
∴$\frac{AE}{OC}$=$\frac{AF}{FC}$，
∴$\frac{AF}{FC}$=$\frac{9}{5}$．

点评 此题主要考查了切线的判定与性质，等腰三角形的性质，解直角三角形，三角形全等的判定和性质及三角形相似的判定和性质，熟练掌握切线的判定和性质以及解直角三角形的方法是解题的关键．