Question

17．在平行四边形ABCD的边AD上任取一点N，过N作平行于对角线AC，BC的直线，分别交边CD，AB于点K、M．证明：△NMB与△NKC等面积．

Answer 1

分析 根据平行线分线段成比例定理得到$\frac{DK}{CD}=\frac{DN}{AD}$，$\frac{DN}{AD}=\frac{BM}{AB}$，等量代换得到$\frac{DK}{CD}=\frac{BM}{AB}$，根据全等三角形的性质得到∠DOK=∠BOM，推出M，O，K三点共线，得到ON是△MNK 的中线，于是得到S_△OMN=S_△ONK，根据同底等高的三角形的面积相等即可得到结论．

解答 解：连接OM，ON，OK，
∵NK∥AC，
∴$\frac{DK}{CD}=\frac{DN}{AD}$，
∵MN∥BD，
∴$\frac{DN}{AD}=\frac{BM}{AB}$，
∴$\frac{DK}{CD}=\frac{BM}{AB}$，
∵AB=CD，
∴DK=BM，
∵AB∥CD，
∴∠ODK=∠OBM，
在△DOK与△BOM中，$\left\{\begin{array}{l}{DK=BM}\\{∠ODK=∠OBM}\\{OD=OB}\end{array}\right.$，
∴△DOK≌△BOM，
∴∠DOK=∠BOM，
∴∠MOK=∠BOM+∠BOK=∠DOK+∠BOK=∠BOD=180°，
∴M，O，K三点共线，
∴ON是△MNK 的中线，
∴S_△OMN=S_△ONK，
∵MN∥BD，NK∥AC，
∴S_△BMN=S_△OMN，S_△ONK=S_△CNK，
∴S_△BMN=S_△CNK．

点评 本题考查了平行四边形的性质，平行线分线段成比例，全等三角形的性质和判定，熟练掌握同底等高的三角形的面积相等是解题的关键．