Question

18．已知：四边形ABCD内接于⊙O，点A是弧BD的中点，过点C作⊙O的切线交弦BD的延长线于E．
（1）求证：∠DCE=∠CBD；
（2）弦AC和弦BD相交于点G，求证：EG=EC．

Answer 1

分析 （1）根据弦切角定理证明即可；
（2）根据弦、弧、圆心角的关系得到∠DCA=∠BCA，根据三角形的外角的性质、等腰三角形的判定定理证明．

解答 证明：（1）∵CE是⊙O的切线，
∴由弦切角定理得，∠DCE=∠CBD；
（2）∵点A是弧BD的中点，
∴∠DCA=∠BCA，
又∠DCE=∠CBD，
∴∠DCA+∠DCE=∠BCA+∠CBD，即∠ECG=∠EGC，
∴EG=EC．

点评 本题考查的是切线的性质、圆内接四边形的性质，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．